Чи дорівнює 0,999… одиниці, чи воно все-таки трохи менше? Ти побачиш три пояснення, які не виходять за межі 6 класу, і дізнаєшся, чому відповідь здається такою дивною.
Уже маєш власну відповідь на цю суперечку? Звір її з розділом «Де найчастіше помиляються».
Про що суперечка
Уяви, що двоє однокласників сперечаються про число 0,999…, у якому дев'ятки повторюються без кінця. Перший каже, що це число трохи менше за 1. Другий каже, що воно дорівнює 1.
Перший міркує так: скільки б дев'яток ми не дописали, до одиниці все одно трохи бракуватиме. Це звучить переконливо. Проте правий другий, і нижче ми це покажемо трьома різними способами.
Що означає запис 0,(9)
Ти вже знаєш, що цифри, які повторюються без кінця, утворюють період. Період записують у дужках: 0,818181… = 0,(81). Тому число 0,999… записують так: 0,(9).
Запис 0,(9) означає, що дев'ятки стоять у всіх розрядах після коми. Це десяті, соті, тисячні і так далі без кінця. Порожнього розряду, де «бракує» цифри, у цьому записі немає.
Пояснення 1. Три третини
Почнемо з дробу $\frac{1}{3}$. Щоб перетворити його в десятковий дріб, поділимо чисельник на знаменник кутом.
Приклад 1. Додай три третини, записані десятковими дробами
Запиши $\frac{1}{3}$ десятковим дробом і знайди суму трьох таких чисел.
Розв’язання.
Ділимо 1 на 3 кутом:
| − | 1, | 0 | 3 | ||||
| 9 | 0, | 3 | 3 | … | |||
| − | 1 | 0 | |||||
| 9 | |||||||
| 1 | 0 | ||||||
| … |
- 1)Число 1 менше за 3, тому в частці пишемо 0 і кому. Дописуємо до 1 нуль, виходить 10.
- 2)Ділимо 10 на 3. Виходить 3, бо 3 · 3 = 9, і лишається остача 1. Знову дописуємо нуль, і знову виходить 10.
- 3)Кожен наступний крок повторює попередній, тому в частці без кінця йдуть трійки:
$\frac{1}{3}$ = 0,333… = 0,(3). - 4)Додаємо три такі числа стовпчиком. У кожному розряді 3 + 3 + 3 = 9.
| + | 0, | 3 | 3 | 3 | 3 | … |
| 0, | 3 | 3 | 3 | 3 | … | |
| 0, | 3 | 3 | 3 | 3 | … | |
| 0, | 9 | 9 | 9 | 9 | … |
У жодному розряді сума не досягає 10, тому перенесень немає. Отже, кожен розряд можна додати окремо, навіть якщо розрядів безліч.
Тепер додамо ті самі числа звичайними дробами. Дроби з однаковими знаменниками додають так:
$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1$.
Ми двічі знайшли суму тих самих трьох чисел. Один раз вийшло 0,(9), а другий раз вийшло 1. Тому це одне й те саме число.
Відповідь: $\frac{1}{3}$ = 0,(3), а сума трьох таких чисел дорівнює 0,(9), тобто 1.
Пояснення 2. Дроби зі знаменником 9
Тепер поділимо на 9 різні числа, менші за 9. Тут виходить цікава закономірність.
Приклад 2. Запиши $\frac{7}{9}$ десятковим дробом і продовж ряд
Перетвори $\frac{7}{9}$ у десятковий дріб. Потім запиши так само дроби від $\frac{1}{9}$ до $\frac{8}{9}$. Подумай, що мало б вийти для $\frac{9}{9}$.
Розв’язання.
Ділимо 7 на 9 кутом:
| − | 7, | 0 | 9 | ||||
| 6 | 3 | 0, | 7 | 7 | … | ||
| − | 7 | 0 | |||||
| 6 | 3 | ||||||
| 7 | 0 | ||||||
| … |
- 1)Число 7 менше за 9, тому в частці пишемо 0 і кому. Дописуємо до 7 нуль, виходить 70.
- 2)Ділимо 70 на 9. Виходить 7, бо 9 · 7 = 63, а остача дорівнює 70 − 63 = 7.
- 3)Після дописаного нуля знову маємо 70, тому кроки повторюються. У частці без кінця йдуть сімки:
$\frac{7}{9}$ = 0,(7).
Остача знову дорівнює 7, бо 70 = 9 · 7 + 7: десять сімок — це дев'ять сімок і ще одна сімка. Так само буде з будь-яким чисельником від 1 до 8. Тому в періоді стоїть цифра чисельника: $\frac{2}{9}$ = 0,(2), $\frac{8}{9}$ = 0,(8).
| Дріб | Десятковий запис |
|---|---|
| $\frac{1}{9}$ | 0,(1) |
| $\frac{2}{9}$ | 0,(2) |
| $\frac{3}{9}$ | 0,(3) |
| … | … |
| $\frac{7}{9}$ | 0,(7) |
| $\frac{8}{9}$ | 0,(8) |
| $\frac{9}{9}$ | 0,(9)? Але $\frac{9}{9}=1$ |
Чисельник щоразу більшає на 1, і цифра в періоді теж більшає на 1. Тому наступним у ряду має стояти 0,(9). Проте $\frac{9}{9}=1$, бо 9 : 9 = 1.
Відповідь: $\frac{7}{9}$ = 0,(7), а ряд підказує, що $\frac{9}{9}$ = 0,(9), тобто 0,(9) = 1.
Сама закономірність ще не є доведенням: ряд міг би й зламатися. Але вона збігається з поясненням 1, тому довіряти їй тут можна.
Пояснення 3. Яка різниця між 1 і 0,(9)
Якщо від більшого числа відняти менше, різниця буде більшою за нуль. Тому знайдемо різницю 1 − 0,(9): якщо вона дорівнює нулю, числа рівні.
Приклад 3. Знайди різницю 1 − 0,(9)
Відніми від 1 спершу числа 0,9, 0,99, 0,999 і 0,9999. Потім з'ясуй, якою має бути різниця 1 − 0,(9).
Розв’язання.
| Різниця | Результат |
|---|---|
| 1 − 0,9 | 0,1 |
| 1 − 0,99 | 0,01 |
| 1 − 0,999 | 0,001 |
| 1 − 0,9999 | 0,0001 |
- 1)Кожна нова дев'ятка зменшує різницю в 10 разів. Одиниця в різниці щоразу відступає на один розряд правіше.
- 2)У числі 0,(9) дев'ятки не закінчуються ніколи. Тому різниця 1 − 0,(9) менша за 0,1, за 0,01, за 0,001 і так далі.
- 3)Візьмемо якесь число, більше за нуль, наприклад 0,000 002. Перша цифра, відмінна від нуля, стоїть у ньому в шостому розряді після коми. Різниця менша за 0,000 001, тобто за одиницю в цьому розряді, тому вона менша й за 0,000 002.
- 4)Так можна зробити з будь-яким числом, більшим за нуль. Знайди в ньому першу цифру, відмінну від нуля: різниця менша навіть за одиницю в її розряді.
- 5)Тому різниця не може бути більшою за нуль, отже, вона дорівнює нулю:
1 − 0,(9) = 0.
Числа, різниця яких дорівнює нулю, рівні між собою. Тому 0,(9) = 1.
Відповідь: 1 − 0,(9) = 0, отже, 0,(9) = 1.
Чому це здається дивним
Ми звикли уявляти, як дописуємо дев'ятки одну за одною. На кожному такому кроці число справді менше за 1.
Проте 0,(9) — це не один із таких кроків. Запис 0,(9) означає, що в кожному розряді після коми стоїть 9, і останнього такого розряду немає.
Друга причина полягає в тому, що одне число тут має два різні записи. Нас це не дивує у звичайних дробах, бо $\frac{1}{2}$ і $\frac{2}{4}$ теж є одним числом. Так само 1 і 0,(9) є двома записами одного числа.
Третя причина пов'язана з порівнянням десяткових дробів за розрядами. Це правило може дати хибну відповідь лише в одному випадку: коли запис закінчується нескінченними дев'ятками. Тоді спершу заміни такий запис коротшим.
Щоб замінити запис, відкинь дев'ятки в періоді, а цифру перед ними збільш на 1. Так 0,(9) = 1, а 2,3(9) = 2,4. Так можна, бо 2,3(9) = 2,3 + 0,0(9). Нескінченні дев'ятки, що починаються в сотих, разом дорівнюють одній десятій, так само як 0,(9) дорівнює одиниці.
Ділячи чисельник на знаменник кутом, ти ніколи не отримаєш періоду (9). Цифра 9 у частці виходить, коли остача з дописаним нулем щонайменше в 9 разів більша за дільник. Після такого кроку нова остача завжди менша за попередню.
Якби дев'ятки йшли без кінця, остача зменшувалася б без кінця, а натуральне число так не може.
Як перевірити себе
- Щоб перевірити період, зроби ще один крок ділення. Якщо остача повторилася, повторяться й цифри частки, бо далі всі кроки будуть такі самі.
- Суму періодичних дробів перевір звичайними дробами, з яких ці числа вийшли. Наприклад, $\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1$, тому 0,(1) + 0,(8) теж має дорівнювати 1.
- Перш ніж порівнювати числа, заміни запис з нескінченними дев'ятками коротшим: відкинь дев'ятки, а цифру перед ними збільш на 1. Інакше порівняння за розрядами може дати хибну відповідь.
Де найчастіше помиляються
Помилка 1. Порівняли числа за цілою частиною, не помітивши нескінченних дев'яток
Завдання: порівняй 0,(9) і 1.
Неправильно
| 0,(9) < 1, бо 0 < 1 |
Правильно
| 1 − 0,(9) = 0, тому 0,(9) = 1 |
Як помітити: якщо запис закінчується нескінченними дев'ятками, правило порівняння за розрядами може дати хибну відповідь. Спершу заміни 0,(9) на 1, а потім порівнюй.
Помилка 2. Скінченний запис з дев'ятками прийняли за 0,(9)
Завдання: порівняй 0,999 і 1.
Неправильно
| 0,999 = 1 |
Правильно
| 1 − 0,999 = 0,001, тому 0,999 < 1 |
Як помітити: подивись, чи стоять дев'ятки в дужках. Число 0,999 має лише три знаки після коми, тому до 1 йому бракує 0,001. Одиниці дорівнює лише нескінченний запис 0,(9).
Помилка 3. Поставили одиницю «в кінці» нескінченного запису
Завдання: знайди різницю 1 − 0,(9).
Неправильно
| 1 − 0,(9) = 0,000…1 |
Правильно
| 1 − 0,(9) = 0 |
Як помітити: у запису 0,000…1 нулі не закінчуються ніколи, тому для одиниці не лишається жодного розряду. У різниці в усіх розрядах стоять нулі, тобто вона дорівнює 0.
Спробуй сам
- Запиши $\frac{1}{9}$ і $\frac{8}{9}$ десятковими дробами і знайди їхню суму двома способами: десятковими дробами і звичайними.
- Перетвори $\frac{5}{9}$ у десятковий дріб. Яка остача повторюється під час ділення?
- Порівняй 0,(9) і 0,9999.
- Яке число записано як 0,4(9)? Запиши його скінченним десятковим дробом.
Перевірити відповіді
- 0,(1) + 0,(8) = 0,(9), а $\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=\frac{9}{9}=1$. Отже, сума дорівнює 1.
- $\frac{5}{9}$ = 0,(5), повторюється остача 5.
- 0,(9) > 0,9999, бо 0,(9) = 1.
- 0,4(9) = 0,5.
Повне розв’язання задачі 3
Число 0,(9) дорівнює 1, тому порівнюємо 1 і 0,9999. Знайдемо різницю:
1 − 0,9999 = 0,0001.
Різниця більша за нуль, тому 0,9999 менше за 1.
Відповідь: 0,(9) > 0,9999.
Повне розв’язання задачі 4
Розкладемо число на два доданки:
0,4(9) = 0,4 + 0,0(9).
Число 0,0(9) має ті самі нескінченні дев'ятки, що й 0,(9), але всі вони стоять на один розряд правіше. Тому воно в 10 разів менше:
0,0(9) = 1 : 10 = 0,1.
Отже,
0,4(9) = 0,4 + 0,1 = 0,5.
Відповідь: 0,4(9) = 0,5.
Якщо твоя відповідь відрізняється від відповіді в розділі «Перевірити відповіді», подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Запитайте дитину, яка різниця між 1 і 0,(9). Якщо дитина назве «нуль цілих і одиницю десь у кінці», попросіть показати розряд, де стоїть ця одиниця. Так вона сама побачить, що такого розряду немає.
Не поспішайте з відповіддю, якщо дитина не погоджується. Ця суперечка здається дивною і дорослим, тому краще розібрати разом одне з трьох пояснень на папері.