Як перетворити звичайний дріб у десятковий і що таке періодичний дріб, 6 клас

Приклад 1. Знаменник 10, 100, 1000 — і назад

1) Запиши десятковим дробом: $\frac{7}{100}$; $3\frac{9}{1000}$. 2) Запиши звичайним дробом або мішаним числом: 0,85; 6,4.

1. 1)У знаменнику 100 два нулі, тому після коми дві цифри: 0,07. Порожнє місце заповнюємо нулем.
2. 2)У знаменнику 1000 три нулі: після коми три цифри, 009. Ціла частина 3 стоїть перед комою.
3. 3)Навпаки: 0,85 — це 85 сотих. Дріб $\frac{85}{100}$ скорочуємо на 5.
4. 4)6,4 — це 6 цілих 4 десятих. Дріб $\frac{4}{10}$ скорочуємо на 2.

Відповідь: 1) 0,07; 3,009; 2) $\frac{17}{20}$; $6\frac{2}{5}$.

Приклад 2. Ділимо чисельник на знаменник: $\frac{5}{8}$

$\frac{5}{8}$ = 5 : 8. Ділимо кутом. Число 5 менше за 8, тому в частці пишемо 0 і кому, а до 5 дописуємо нуль: 5,0.

1. 1)5 менше за 8: цілих у частці 0. Пишемо «0,» і ділимо 50. 8 · 6 = 48, остача 2.
2. 2)До остачі 2 дописуємо нуль: 20. 8 · 2 = 16, остача 4.
3. 3)Дописуємо нуль: 40. 8 · 5 = 40, остача 0. Ділення закінчилося.

Коротші дроби ділимо усно:
$\frac{7}{20}$ = 7 : 20 = 0,35; $\frac{21}{25}$ = 21 : 25 = 0,84.

Відповідь: $\frac{5}{8}$ = 0,625.

Приклад 3. Мішане число: $4\frac{13}{40}$

Ділимо лише дробову частину: 13 : 40. Цілу частину 4 додамо в кінці.

1. 1)13 менше за 40: у частці «0,». Ділимо 130. 40 · 3 = 120, остача 10.
2. 2)Дописуємо нуль: 100. 40 · 2 = 80, остача 20.
3. 3)Дописуємо нуль: 200. 40 · 5 = 200, остача 0. Отже, $\frac{13}{40}$ = 0,325.
4. 4)Додаємо цілу частину:
   4 + 0,325 = 4,325.

Відповідь: $4\frac{13}{40}$ = 4,325.

Приклад 4. Період одразу після коми: $\frac{5}{33}$

1. 1)5 менше за 33: у частці «0,». Ділимо 50. 33 · 1 = 33, остача 17.
2. 2)Дописуємо нуль: 170. 33 · 5 = 165, остача 5.
3. 3)Дописуємо нуль: знову 50. З цього числа ми вже починали. Далі знову вийдуть цифри 1 і 5.
4. 4)Цифри 1 і 5 повторюються: період — 15. У куті ми пройшли ще одне коло, тому в частці 0,1515…

Записуємо:
$\frac{5}{33}$ = 0,1515… = 0,(15). Читаємо: «нуль цілих 15 сотих у періоді».

Відповідь: $\frac{5}{33}$ = 0,(15).

Приклад 5. Період починається не одразу: $\frac{7}{15}$

1. 1)Ділимо 70. 15 · 4 = 60, остача 10. У частці «0,4».
2. 2)Дописуємо нуль: 100. 15 · 6 = 90, остача 10.
3. 3)Знову 100 — повтор. Число 100 уперше з’явилося на другому кроці, коли ми отримали цифру 6. Отже, повторюється лише 6.

Цифра 4 не повторюється, тому вона стоїть до дужок:
$\frac{7}{15}$ = 0,4666… = 0,4(6). Читаємо: «нуль цілих 4 десятих і 6 у періоді».

Відповідь: $\frac{7}{15}$ = 0,4(6).

Приклад 6. Прочитай періодичні дроби

0,(4); 3,(27); 0,2(5); 1,03(8).

1. 1)Якщо дужка стоїть одразу після коми, читаємо цифри в дужках як десяті, соті… і додаємо «у періоді».
2. 2)Якщо до дужки є цифри, спершу читаємо їх. Потім кажемо «і», цифри з дужок та «у періоді».

Відповідь — у таблиці вище.

Приклад 7. Перевір, що $\frac{8}{11}$ = 0,(72)

Перевірити — означає поділити 8 на 11 і порівняти результат із записом.

1. 1)Ділимо 80. 11 · 7 = 77, остача 3.
2. 2)Дописуємо нуль: 30. 11 · 2 = 22, остача 8.
3. 3)Дописуємо нуль: знову 80. Отже, цифри 7 і 2 повторюватимуться:
   0,7272… = 0,(72).

Відповідь: рівність правильна, $\frac{8}{11}$ = 0,(72).

Приклад 8. Які дроби дадуть скінченний десятковий дріб?

Числа: $\frac{21}{28}$; $2\frac{11}{40}$; $\frac{11}{18}$; $\frac{17}{80}$; $2\frac{7}{11}$.

1. 1)Дріб $\frac{21}{28}$ скоротний: 21 і 28 діляться на 7. Після скорочення $\frac{3}{4}$, а 4 = 2 · 2.
2. 2)У мішаного числа дивимося на знаменник дробової частини: 40 і 11.
3. 3)У 18 є множник 3, а 11 — просте число, відмінне від 2 і 5. Ці дроби дадуть період.

Без скорочення можна помилитися: у 28 є множник 7, а дріб $\frac{21}{28}$ насправді скінченний.

Відповідь: скінченні — $\frac{21}{28}$, $2\frac{11}{40}$, $\frac{17}{80}$; періодичні — $\frac{11}{18}$, $2\frac{7}{11}$.

Приклад 9. Скінченні дроби без ділення: зводимо до 10, 100, 1000

Перетворимо скінченні дроби з прикладу 8. Шукаємо додатковий множник, щоб знаменник став 10, 100, 1000 чи 10 000. Для цього ділимо таке число на знаменник:
100 : 4 = 25, 1000 : 40 = 25, 10 000 : 80 = 125.

1. 1)$\frac{21}{28}=\frac{3}{4}$. Множимо чисельник і знаменник на 25:
   3 · 25 = 75, 4 · 25 = 100. Отже, 0,75.
2. 2)$\frac{11}{40}$: додатковий множник 25. 11 · 25 = 275, 40 · 25 = 1000. Отже, 0,275, а $2\frac{11}{40}$ = 2,275.
3. 3)$\frac{17}{80}$: 1000 на 80 не ділиться, беремо 10 000. Додатковий множник 125:
   17 · 125 = 2125. У 10 000 чотири нулі — після коми чотири цифри: 0,2125.

Чому це можна. За основною властивістю дробу чисельник і знаменник можна помножити на те саме число. Значення дробу від цього не зміниться.

Відповідь: $\frac{21}{28}$ = 0,75; $2\frac{11}{40}$ = 2,275; $\frac{17}{80}$ = 0,2125.

Приклад 10. Періодичні дроби з прикладу 8: $\frac{11}{18}$ і $2\frac{7}{11}$

1. 1)11 менше за 18: у частці «0,». Ділимо 110. 18 · 6 = 108, остача 2.
2. 2)Дописуємо нуль: 20. 18 · 1 = 18, остача 2. Знову 20 — повтор із другого кроку, тобто з цифри 1.
3. 3)Отже, $\frac{11}{18}$ = 0,6111… = 0,6(1).

1. 1)Ділимо лише дробову частину $\frac{7}{11}$. 70 : 11 = 6, остача 4.
2. 2)Дописуємо нуль: 40. 11 · 3 = 33, остача 7.
3. 3)Знову 70 — з нього ми починали. Отже, $\frac{7}{11}$ = 0,(63). Додаємо цілу частину:
   $2\frac{7}{11}$ = 2,(63).

Відповідь: $\frac{11}{18}$ = 0,6(1); $2\frac{7}{11}$ = 2,(63).

Приклад 11. Частку записати періодичним дробом: 31 : 12 і 8,3 : 11

1. 1)31 : 12 = 2, остача 7. Ціла частина частки — 2, ставимо кому.
2. 2)70 : 12 = 5, остача 10. Далі 100 : 12 = 8, остача 4.
3. 3)40 : 12 = 3, остача 4. Знову 40 — повторюється лише цифра 3.

31 : 12 = 2,58333… = 2,58(3).

1. 1)Ділене — десятковий дріб. 8 менше за 11: у частці «0,». Ділимо 83. 11 · 7 = 77, остача 6.
2. 2)Дописуємо нуль: 60. 11 · 5 = 55, остача 5. Далі 50:
   11 · 4 = 44, остача 6.
3. 3)Знову 60. Воно вперше з’явилося на кроці з цифрою 5, отже, період — 54.

8,3 : 11 = 0,75454… = 0,7(54).

Відповідь: 31 : 12 = 2,58(3); 8,3 : 11 = 0,7(54).

Приклад 12. Нуль у частці: 2,3 : 11

Буває, що після дописаного нуля число все ще менше за дільник. Тоді в частку пишемо 0 і дописуємо ще один нуль.

1. 1)2 менше за 11: у частці «0,». Ділимо 23. 11 · 2 = 22, остача 1.
2. 2)Дописуємо нуль: 10. Це менше за 11, тому в частку пишемо 0 і дописуємо ще нуль: 100.
3. 3)100 : 11 = 9, остача 1. Дописуємо нуль — знову 10.
4. 4)Стежимо саме за числом 10: воно вийшло одразу після дописаного нуля. У куті це перші дві цифри числа 100 (жовті клітинки).
5. 5)Від першого 10 до повтору в частці з’явилися цифри 0 і 9. Це період, і нуль теж до нього належить.

2,3 : 11 = 0,20909… = 0,2(09). Період може й починатися з нуля.

3 : 37: дописуємо нуль — 30, це менше за 37, у частку 0; далі 300 : 37 = 8, остача 4; 40 : 37 = 1, остача 3; знову 30. Отже, 3 : 37 = 0,081081… = 0,(081).

Відповідь: 2,3 : 11 = 0,2(09).

Приклад 13. Дріб і десятковий дріб в одному виразі

Перетвори звичайний дріб у десятковий та обчисли.

1) 2,35 + $\frac{5}{8}$; 2) 4,1 − $\frac{7}{20}$;

3) $1\frac{3}{4}$ · 0,6; 4) $3\frac{3}{5}$ : 0,45.

1. 1)Кожен звичайний дріб тут має знаменник лише з 2 і 5. Тому він перетворюється в скінченний десятковий.
2. 2)Додаємо й віднімаємо кома під комою: 2,350 + 0,625 і 4,10 − 0,35.
3. 3)Множимо:
   175 · 6 = 1050. Після коми в множниках разом три цифри, тому 1,050 = 1,05.
4. 4)Ділимо на 0,45: переносимо кому в обох числах на дві цифри праворуч. 360 : 45 = 8.

Відповідь: 1) 2,975; 2) 3,75; 3) 1,05; 4) 8.

Приклад 14. Порівняй, записавши звичайні дроби десятковими

1) $\frac{2}{9}$ і 0,22; 2) $\frac{7}{11}$ і 0,64; 3) $\frac{5}{8}$ і $\frac{7}{11}$.

1. 1)Періодичний дріб записуємо з кількома повтореннями періоду: 0,(2) = 0,222…
2. 2)У скінченного дробу дописуємо нулі, щоб цифр стало порівну:
   0,22 = 0,220.
3. 3)Порівнюємо по розрядах зліва направо. У першому: десяті й соті однакові, а тисячних 2 більше за 0.
4. 4)У другому: десяті однакові (6), а соті 3 менше за 4.

Для порівняння період шукати не обов’язково. Ділимо, доки цифри не стануть різними. Наприклад, $\frac{12}{17}$ і 0,7:
12 : 17 = 0,705…, а 0,7 = 0,700. Отже, $\frac{12}{17}$ > 0,7.

Відповідь: 1) $\frac{2}{9}$ > 0,22; 2) $\frac{7}{11}$ < 0,64; 3) $\frac{5}{8}$ < $\frac{7}{11}$.

Приклад 15. Дві мотузки

Мотузку завдовжки 20 м розрізали на 3 рівні частини, а мотузку завдовжки 73 м — на 11 рівних частин. Яка з частин довша?

1. 1)Довжина частини першої мотузки:
   20 : 3 = 6,(6) м.
2. 2)Довжина частини другої:
   73 : 11 = 6,(63) м.
3. 3)Цілі й десяті однакові: 6 і 6. Соті: 6 більше за 3. Отже, перша частина довша.

У куті 20 : 3 перше 20 дало цілу частину 6. Повтор шукаємо після коми, тому жовтим позначено лише нижні числа 20.

Відповідь: частина першої мотузки (20 м на 3 частини) довша.