Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками: покроково з прикладами, 6 клас

Приклад 1. Один знаменник ділиться на інший

Обчисли усно: 1) $\frac{1}{3}+\frac{5}{9}$; 2) $\frac{7}{8}-\frac{1}{4}$.

1. 1)Більший знаменник 9 ділиться на 3. Отже, спільний знаменник — 9.
2. 2)Додатковий множник першого дробу:
   9 : 3 = 3. Множимо чисельник і знаменник на 3.
3. 3)Знаменники стали однакові. Додаємо чисельники:
   3 + 5 = 8.
4. 4)У другому виразі 8 ділиться на 4, тому додатковий множник — 2. Віднімаємо чисельники:
   7 − 2 = 5.

Такі приклади рахують усно. Другий дріб перетворювати не треба: його знаменник уже спільний.

Відповідь: 1) $\frac{8}{9}$; 2) $\frac{5}{8}$.

Приклад 2. Сума двох дробів: $\frac{5}{6}+\frac{1}{14}$

1. 1)Кратні числа 14: 14 на 6 не ділиться, 28 теж, а 42 ділиться. Спільний знаменник — 42.
2. 2)Додаткові множники:
   42 : 6 = 7 і 42 : 14 = 3.
3. 3)Множимо чисельники:
   5 · 7 = 35 і 1 · 3 = 3. Знаменник у обох дробів тепер 42.
4. 4)Додаємо чисельники:
   35 + 3 = 38. Виходить $\frac{38}{42}$.
5. 5)Скорочуємо відповідь на 2. Дістаємо нескоротний дріб $\frac{19}{21}$.

Як це пишуть у зошиті. Додатковий множник ставлять дрібно вгорі ліворуч від чисельника і відокремлюють косою рискою. Рядок $\frac{35}{42}+\frac{3}{42}$ зазвичай пропускають, а дріб із сумою в чисельнику лишають.

Відповідь: $\frac{19}{21}$.

Приклад 3. Різниця двох дробів: $\frac{11}{12}-\frac{5}{18}$

1. 1)Кратні числа 18: 18 на 12 не ділиться. Наступне кратне 36 ділиться, тому спільний знаменник — 36.
2. 2)Множники:
   36 : 12 = 3 і 36 : 18 = 2. Чисельники:
   11 · 3 = 33 і 5 · 2 = 10.
3. 3)Віднімаємо чисельники:
   33 − 10 = 23.
4. 4)Число 23 просте, і 36 на нього не ділиться. Дріб уже нескоротний.

Тут ми одразу записали дію в чисельнику. Це коротший запис із підручника. У зошиті він має такий вигляд.

Відповідь: $\frac{23}{36}$.

Приклад 4. Неправильний дріб у відповіді: $\frac{9}{10}+\frac{5}{6}$

1. 1)Спільний знаменник — 30. Множники:
   30 : 10 = 3 і 30 : 6 = 5.
2. 2)Чисельники:
   9 · 3 = 27 і 5 · 5 = 25. Сума:
   27 + 25 = 52.
3. 3)Скорочуємо $\frac{52}{30}$ на 2. Виходить $\frac{26}{15}$.
4. 4)Чисельник більший за знаменник. Ділимо 26 на 15: ціла частина 1, остача 11.

Чому так. Обидва доданки менші за одиницю, але разом вони більші. Тому в відповіді з’явилася ціла частина.

Відповідь: $1\frac{11}{15}$.

Приклад 5. Три дроби: $\frac{7}{12}+\frac{3}{8}-\frac{5}{24}$

1. 1)Найбільший знаменник 24 ділиться і на 12, і на 8. Отже, спільний знаменник — 24.
2. 2)Множники: 2, 3 і 1. Третій дріб уже має потрібний знаменник.
3. 3)Чисельники:
   7 · 2 = 14, 3 · 3 = 9 і 5. Записуємо їх в один чисельник зі знаками виразу.
4. 4)Рахуємо по порядку:
   14 + 9 = 23, потім 23 − 5 = 18.
5. 5)Скорочуємо $\frac{18}{24}$ на 6. Дістаємо $\frac{3}{4}$.

Три, чотири і більше дробів зводять до спільного знаменника так само, як два.

Відповідь: $\frac{3}{4}$.

Приклад 6. Натуральне число мінус дужка

Обчисли: 1) $1-\left(\frac{3}{8}+\frac{5}{12}\right)$; 2) $4-\left(\frac{9}{10}-\frac{1}{4}\right)$.

1. 1)Першою виконуємо дію в дужках. У першому виразі спільний знаменник 24, у другому — 20.
2. 2)Одиницю записуємо дробом із тим самим знаменником:
   $1=\frac{24}{24}$.
3. 3)Віднімаємо чисельники:
   24 − 19 = 5.
4. 4)У другому виразі одну цілу з чотирьох записуємо дробом $\frac{20}{20}$, а три цілих лишаємо:
   $4=3+1=3\frac{20}{20}$.
5. 5)Три цілих лишаються, а з дробової частини віднімаємо:
   20 − 13 = 7.

Відповідь: 1) $\frac{5}{24}$; 2) $3\frac{7}{20}$.

Приклад 7. Звичайний і десятковий дріб в одному виразі

Знайди значення виразу: 1) $\frac{3}{4}+0{,}15$; 2) $0{,}7-\frac{1}{6}$.

1. 1)Десятковий дріб читаємо і записуємо звичайним: 0,15 — це 15 сотих. Скорочуємо на 5.
2. 2)Тепер обидва числа — звичайні дроби. Спільний знаменник у першому виразі 20.
3. 3)У другому виразі 0,7 — це 7 десятих. Спільний знаменник для 10 і 6 — це 30.
4. 4)Обидві відповіді скорочуємо на 2.

Зручніше десятковий дріб записати звичайним. Тоді обидва числа однакового виду.

Відповідь: 1) $\frac{9}{10}$; 2) $\frac{8}{15}$.

Приклад 8. Рівняння

Розв’яжи рівняння: 1) $\frac{5}{9}+x=\frac{13}{18}$; 2) $x-\frac{3}{10}=\frac{7}{15}$.

1. 1)У першому рівнянні $x$ — невідомий доданок. Від суми віднімаємо відомий доданок.
2. 2)Спільний знаменник для 18 і 9 — це 18. Чисельники: 13 і 10.
3. 3)Відповідь скорочуємо на 3.
4. 4)У другому рівнянні $x$ — зменшуване. До різниці додаємо від’ємник.

Відповідь: 1) $x=\frac{1}{6}$; 2) $x=\frac{23}{30}$.

Приклад 9. Властивості додавання й віднімання

Обчисли зручним способом: 1) $\frac{5}{24}+\frac{3}{7}+\frac{7}{24}$; 2) $\frac{17}{20}-\left(\frac{7}{20}+\frac{1}{6}\right)$.

Ще один вираз: 3) $\left(\frac{5}{12}+\frac{4}{9}\right)-\frac{1}{12}$.

1. 1)Доданки можна переставляти і групувати. Спершу додаємо дроби з однаковим знаменником 24.
2. 2)Виходить $\frac{12}{24}$. Скорочуємо на 12 і дістаємо $\frac{1}{2}$. Числа стали значно меншими.
3. 3)У другому виразі від $\frac{17}{20}$ спершу віднімаємо $\frac{7}{20}$: знаменник у них той самий.
4. 4)Від одержаної половини віднімаємо $\frac{1}{6}$. Спільний знаменник — 6.
5. 5)У третьому виразі віднімання переносимо до дробу з тим самим знаменником 12. Дістаємо $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$, і лишається додати $\frac{4}{9}$.

Якщо рахувати «як записано», спільний знаменник вийшов би 168. Зручний порядок економить час.

Відповідь: 1) $\frac{13}{14}$; 2) $\frac{1}{3}$; 3) $\frac{7}{9}$.

Приклад 10. Частина за два проміжки часу

За першу годину насос відкачав $\frac{5}{18}$ води з підвалу, за другу — на $\frac{1}{9}$ більше. Яку частину води відкачано за дві години? Чи відкачали всю воду?

1. 1)«На $\frac{1}{9}$ більше» означає додавання. Спільний знаменник для 18 і 9 — це 18.
2. 2)Додаємо частини за першу і другу години:
   5 + 7 = 12. Скорочуємо $\frac{12}{18}$ на 6.
3. 3)Уся вода — це одиниця. Порівнюємо: $\frac{2}{3}$ менше від одиниці, тому вода лишилася.
4. 4)Щоб знайти решту, від одиниці віднімаємо відкачану частину.

Відповідь: $\frac{2}{3}$ води; усю воду не відкачали, лишилася $\frac{1}{3}$.

Приклад 11. Де більше і на скільки

У першій банці $\frac{7}{12}$ л фарби, у другій — $\frac{9}{16}$ л. У якій банці фарби більше і на скільки літрів?

1. 1)Щоб порівняти дроби, зводимо їх до спільного знаменника 48.
2. 2)Множники:
   48 : 12 = 4 і 48 : 16 = 3. Чисельники: 28 і 27.
3. 3)Більший чисельник у першого дробу. Отже, фарби більше в першій банці.
4. 4)«На скільки більше» — це віднімання:
   28 − 27 = 1.

Відповідь: у першій банці, на $\frac{1}{48}$ л.

Приклад 12. Спільна робота

Оксана прибирає кімнату за 15 хв, а Богдан — за 10 хв. Яку частину кімнати прибирає кожен за 1 хв?

Яку частину вони приберуть разом за 1 хв? за 2 хв? Чи більше це за чверть кімнати?

1. 1)Усю роботу беремо за одиницю. Оксана виконує її за 15 хв, тому за 1 хв робить $\frac{1}{15}$.
2. 2)Богдан виконує роботу за 10 хв, тому за 1 хв робить $\frac{1}{10}$.
3. 3)Разом за хвилину вони роблять суму цих частин. Спільний знаменник — 30.
4. 4)За другу хвилину вони зроблять таку саму частину ще раз. Тому додаємо $\frac{1}{6}$ і $\frac{1}{6}$.
5. 5)Щоб порівняти результат із чвертю, зводимо $\frac{1}{3}$ і $\frac{1}{4}$ до знаменника 12.

Відповідь: $\frac{1}{15}$ і $\frac{1}{10}$; разом $\frac{1}{6}$ за хвилину і $\frac{1}{3}$ за дві хвилини. Це більше за чверть кімнати.

Приклад 13. Сторона трикутника за периметром

Периметр трикутника дорівнює $\frac{11}{12}$ м. Одна сторона — $\frac{3}{8}$ м, а друга на $\frac{1}{12}$ м менша за першу. Знайди третю сторону.

1. 1)Периметр — це сума трьох сторін. Спершу знаходимо другу сторону.
2. 2)«Менша на $\frac{1}{12}$ м» означає віднімання. Спільний знаменник для 8 і 12 — це 24.
3. 3)Додаємо першу і другу сторони:
   9 + 7 = 16. Скорочуємо $\frac{16}{24}$ на 8.
4. 4)Від периметра віднімаємо ці дві сторони. Спільний знаменник для 12 і 3 — це 12.

Відповідь: $\frac{1}{4}$ м.

Приклад 14. Як зміниться різниця

Зменшуване збільшили на $\frac{3}{10}$, а від’ємник — на $\frac{1}{5}$. Як змінилася різниця?

1. 1)Зменшуване стало більшим на $\frac{3}{10}$. На стільки ж більшає і різниця.
2. 2)Від’ємник став більшим на $\frac{1}{5}$. На стільки ж різниця меншає.
3. 3)Скільки лишилося:
   $\frac{3}{10}-\frac{1}{5}=\frac{1}{10}$. Дріб $\frac{3}{10}$ більший, тому різниця зросла.
4. 4)Перевіряємо на будь-яких числах. Була різниця $\frac{3}{10}$, стала $\frac{4}{10}$.
5. 5)Тут $\frac{4}{10}$ не скорочуємо: у десятих одразу видно, що різниця зросла на $\frac{1}{10}$.

Чотири випадки. Зменшуване збільшили — різниця більшає. Зменшуване зменшили — різниця меншає.

Від’ємник збільшили — різниця меншає. Від’ємник зменшили — різниця більшає. Далі лишається відняти менше число від більшого.

Самі зменшуване й від’ємник в умові не названі. Відповідь від них і не залежить.

Відповідь: різниця збільшилася на $\frac{1}{10}$.