Спільний знаменник і порівняння дробів: як знайти найменший спільний знаменник, 6 клас

Приклад 1. Зведи до найменшого спільного знаменника дроби $\frac{3}{4}$ і $\frac{7}{10}$

1. 1)Більший знаменник — 10. На 4 він не ділиться, тому 10 не підходить.
2. 2)Беремо наступне кратне числа 10:
   10 · 2 = 20. Число 20 ділиться на 4. Отже, спільний знаменник — 20.
3. 3)Додатковий множник першого дробу:
   20 : 4 = 5. Другого:
   20 : 10 = 2.
4. 4)Множимо на 5 чисельник і знаменник першого дробу, а на 2 — другого.

Як це пишуть у зошиті. Дію множення зазвичай не записують. Додатковий множник ставлять дрібно вгорі ліворуч від чисельника й відокремлюють косою рискою.

Відповідь: $\frac{15}{20}$ і $\frac{14}{20}$.

Приклад 2. Зведи до найменшого спільного знаменника дроби $\frac{1}{4}$, $\frac{5}{8}$ і $\frac{11}{24}$

1. 1)Найбільший знаменник — 24. Він ділиться і на 4, і на 8 без остачі.
2. 2)Отже, 24 і є найменшим спільним знаменником. Менше число не підійде: воно не ділилося б на 24.
3. 3)Додаткові множники — ті самі частки: 6 і 3. Дріб $\frac{11}{24}$ уже має потрібний знаменник.

Відповідь: $\frac{6}{24}$, $\frac{15}{24}$, $\frac{11}{24}$.

Приклад 3. Зведи до найменшого спільного знаменника дроби $\frac{2}{9}$, $\frac{5}{12}$ і $\frac{7}{18}$

1. 1)Найбільший знаменник — 18. На 9 він ділиться, а на 12 — ні.
2. 2)Наступне кратне:
   18 · 2 = 36. Воно ділиться і на 9, і на 12. Отже, спільний знаменник — 36.
3. 3)Додаткові множники:
   36 : 9 = 4, 36 : 12 = 3, 36 : 18 = 2.
4. 4)Множимо чисельник і знаменник кожного дробу на його множник.

Такий перебір — множимо більший знаменник на 2, 3, 4… — працює завжди. Коли знаменники великі, він може бути довгим.

Відповідь: $\frac{8}{36}$, $\frac{15}{36}$, $\frac{14}{36}$.

Приклад 4. Зведи до найменшого спільного знаменника дроби $\frac{7}{54}$ і $\frac{11}{90}$

Усно спільний знаменник тут знайти важко. Покажемо два способи.

1. 1)Розкладаємо обидва знаменники на прості множники. Ділимо на 2, 3, 5… доки не дістанемо 1.
2. 2)Виписуємо всі множники більшого числа: 2 · 3 · 3 · 5. Дописуємо множники меншого, яких там бракує.
3. 3)У числі 54 три трійки, а в числі 90 — лише дві. Бракує однієї трійки, тому НСК = 90 · 3 = 270.
4. 4)Другий спосіб дає те саме:
   вже 90 · 3 = 270 ділиться на 54.
5. 5)Додаткові множники:
   270 : 54 = 5 і 270 : 90 = 3.

У другому способі додаткові множники видно одразу: 5 для першого дробу і 3 для другого.

Відповідь: $\frac{35}{270}$ і $\frac{33}{270}$.

Приклад 5. Зведи дроби $\frac{7}{60}$, $\frac{11}{72}$ і $\frac{13}{90}$ до найменшого спільного знаменника розкладом на прості множники

1. 1)Кожен знаменник ділимо на найменше просте число, на яке він ділиться. Потім так само ділимо частку. Робимо так, доки не дістанемо 1. Усі дільники — це прості множники.
2. 2)Почати можна з будь-якого розкладу. Зручніше взяти той, де множників найбільше:
   72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3.
3. 3)У числі 60 є множник 5, якого в розкладі 72 немає. Дописуємо його. У числі 90 усі множники вже є: одна двійка, дві трійки і п’ятірка.
4. 4)Перемножуємо:
   2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360. Далі ділимо 360 на кожен знаменник і множимо чисельники:
   7 · 6 = 42, 11 · 5 = 55, 13 · 4 = 52.

Відповідь: НСК (60; 72; 90) = 360; $\frac{42}{360}$, $\frac{55}{360}$, $\frac{52}{360}$.

Приклад 6. Порівняй дроби

Порівняємо дві пари дробів.

1. 1)У першій парі 18 ділиться на 9. Тому зводимо лише перший дріб: множник 2. Це можна зробити усно.
2. 2)У другій парі перебираємо кратні 12. Число 12 на 8 не ділиться, наступне кратне 24 — ділиться. Множники:
   24 : 8 = 3 і 24 : 12 = 2.
3. 3)Порівнюємо чисельники: 15 більше за 14. Висновок записуємо для початкових дробів словами «Оскільки…, то…», як у підручнику.

Відповідь: $\frac{4}{9}\gt \frac{7}{18}$; $\frac{5}{8}\gt \frac{7}{12}$.

Приклад 7. Розташуй у порядку зростання дроби $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{11}{12}$

1. 1)Найбільший знаменник — 12. Числа 12 і 24 на 9 не діляться. Число 36 ділиться на 6, 9, 4 і 12.
2. 2)Додаткові множники:
   36 : 6 = 6, 36 : 9 = 4, 36 : 4 = 9, 36 : 12 = 3.
3. 3)Упорядковуємо чисельники: 27, 28, 30, 33. У тому самому порядку записуємо початкові дроби.

Відповідь: $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{11}{12}$.

Приклад 8. Познач дроби на координатному промені

Одиничний відрізок — 12 клітинок. Познач числа $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{5}{12}$ і запиши їх у порядку спадання.

1. 1)12 клітинок — це 12 дванадцятих. Тому всі дроби зводимо до знаменника 12.
2. 2)Чисельник показує, скільки клітинок відкласти від нуля: 3, 5, 8 і 10.
3. 3)Що правіше на промені, те більше. Читаємо точки справа наліво: D, C, B, A.

Відповідь: $\frac{5}{6}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{1}{4}$.

Приклад 9. Порівняй 0,35 і $\frac{3}{8}$

1. 1)Десятковий дріб 0,35 читаємо «35 сотих». Записуємо його звичайним дробом і скорочуємо на 5.
2. 2)Кратні числа 20: 20 на 8 не ділиться, а 40 ділиться. Множники:
   40 : 20 = 2 і 40 : 8 = 5.
3. 3)Порівнюємо чисельники: 14 менше за 15.

Відповідь: $0{,}35\lt \frac{3}{8}$.

Приклад 10. Розв’яжи задачу

Оля набрала на клавіатурі 38 слів за 3 хв, а Максим — 51 слово за 4 хв. Хто з них друкує швидше?

1. 1)Порівнюємо, скільки слів кожен набирає за 1 хв. Це продуктивність праці. Кількість слів ділимо на кількість хвилин.
2. 2)Частку записуємо дробом:
   38 : 3 = $\frac{38}{3}$.
3. 3)Зводимо до знаменника 12: множники 4 і 3. Далі 38 · 4 = 152 і 51 · 3 = 153.

Різниця — лише $\frac{1}{12}$ слова за хвилину. Без спільного знаменника її важко помітити.

Відповідь: Максим.

Приклад 11. Знайди всі натуральні значення $x$, для яких нерівність правильна

Розв’яжемо дві нерівності.

1. 1)Зводимо відомі дроби до знаменника дробу з $x$. У першій нерівності це 15, у другій — 20.
2. 2)Тепер знаменники однакові, тож порівнюємо лише чисельники.
3. 3)Знак «<» строгий: самі числа 6, 8 і 15 не підходять. Натуральні числа починаються з 1.

Відповідь: 1) 1, 2, 3, 4, 5; 2) 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Приклад 12. Знайди два дроби, кожен з яких більший за $\frac{3}{10}$, але менший від $\frac{2}{5}$

1. 1)Зводимо дроби до спільного знаменника 10. Між чисельниками 3 і 4 натуральних чисел немає.
2. 2)Потрібно два числа між чисельниками. Після множення на 2 між 6 і 8 було б лише число 7. Тому множимо чисельники і знаменники на 3: між 9 і 12 є два числа.
3. 3)Це числа 10 і 11. Беремо дроби з ними.

Якщо потрібно більше дробів, множ на більше число: на 4, 5 і далі.

Відповідь: $\frac{10}{30}$ і $\frac{11}{30}$.