Додавання і віднімання мішаних чисел: коли дробова частина замала, 6 клас

Приклад 1. Усно: мішане число і натуральне число чи дріб

Обчисли: 1) $4\frac{2}{9}+3$; 2) $2\frac{3}{8}+\frac{1}{4}$; 3) $6\frac{5}{7}-2$; 4) $5\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$.

1. 1)У першому і третьому виразах натуральне число додаємо до цілої частини або віднімаємо від неї. Дробова частина лишається та сама.
2. 2)У другому і четвертому виразах дріб додаємо до дробової частини або віднімаємо від неї. Ціла частина лишається та сама.
3. 3)У четвертому виразі різницю $\frac{3}{6}$ скорочуємо на 3.

Відповідь: 1) $7\frac{2}{9}$; 2) $2\frac{5}{8}$; 3) $4\frac{5}{7}$; 4) $5\frac{1}{2}$.

Приклад 2. Сума мішаних чисел: $3\frac{2}{5}+4\frac{1}{6}$

1. 1)Записуємо окремо суму цілих частин і суму дробових.
2. 2)Цілі частини:
   3 + 4 = 7.
3. 3)Дробові частини зводимо до знаменника 30, додаткові множники — 6 і 5. Чисельники:
   2 · 6 = 12 і 1 · 5 = 5. Сума:
   12 + 5 = 17.
4. 4)Дріб $\frac{17}{30}$ правильний і нескоротний. Приписуємо його до 7.

Як це пишуть у зошиті. Суму цілих обчислюють усно і пишуть одразу. Додаткові множники ставлять дрібно над чисельниками дробових частин.

Відповідь: $7\frac{17}{30}$.

Приклад 3. Дробові частини дали неправильний дріб: $2\frac{5}{6}+3\frac{3}{4}$

1. 1)Цілі частини:
   2 + 3 = 5.
2. 2)Дробові частини зводимо до знаменника 12:
   5 · 2 = 10, 3 · 3 = 9. Сума:
   10 + 9 = 19.
3. 3)Дріб $\frac{19}{12}$ неправильний: 19 більше за 12. Ділимо:
   19 : 12 = 1, остача 7.
4. 4)Цілу частину 1 додаємо до 5. Виходить 6, а дробова частина — $\frac{7}{12}$.

Чому так. Запис $5\frac{19}{12}$ — ще не мішане число: його дробова частина більша за одиницю. Тому одну цілу забираємо з дробу до цілих.

Відповідь: $6\frac{7}{12}$.

Приклад 4. Три доданки: $1\frac{2}{3}+2\frac{1}{4}+3\frac{5}{6}$

1. 1)Цілі частини:
   1 + 2 + 3 = 6.
2. 2)Дробові частини зводимо до знаменника 12:
   2 · 4 = 8, 1 · 3 = 3, 5 · 2 = 10.
3. 3)Сума чисельників:
   8 + 3 + 10 = 21. Дріб $\frac{21}{12}$ неправильний:
   21 : 12 = 1, остача 9.
4. 4)Одну цілу додаємо до 6. Виходить $7\frac{9}{12}$. Дріб скорочуємо на 3:
   $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$.

Три і більше мішаних чисел додають так само, як два.

Відповідь: $7\frac{3}{4}$.

Приклад 5. Різниця мішаних чисел: $8\frac{5}{6}-3\frac{2}{9}$

1. 1)Від’ємник $3\frac{2}{9}$ — це сума $3+\frac{2}{9}$. Суму можна віднімати частинами.
2. 2)Спершу віднімаємо цілу частину:
   8 − 3 = 5.
3. 3)Потім віднімаємо дробову. Спільний знаменник — 18. Чисельники:
   5 · 3 = 15 і 2 · 2 = 4.
4. 4)Віднімаємо:
   15 − 4 = 11. Дріб $\frac{11}{18}$ нескоротний.

Як це пишуть у зошиті. Скорочено: від цілої частини віднімаємо цілу, від дробової — дробову.

Відповідь: $5\frac{11}{18}$.

Приклад 6. Мішане число мінус дріб і однакові цілі частини

Обчисли: 1) $6\frac{7}{10}-\frac{1}{4}$; 2) $4\frac{5}{6}-4\frac{3}{8}$.

1. 1)У першому виразі від’ємник не має цілої частини. Ціла частина 6 лишається, віднімаємо лише дроби.
2. 2)Спільний знаменник — 20. Чисельники:
   7 · 2 = 14 і 1 · 5 = 5. Різниця:
   14 − 5 = 9.
3. 3)У другому виразі цілі частини однакові:
   4 − 4 = 0. Нуль цілих не пишемо.
4. 4)Дробові частини: спільний знаменник 24, чисельники 20 і 9. Різниця:
   20 − 9 = 11.

Відповідь: 1) $6\frac{9}{20}$; 2) $\frac{11}{24}$.

Приклад 7. Натуральне число мінус мішане: $9-4\frac{3}{8}$

1. 1)Від’ємник — сума $4+\frac{3}{8}$. Спершу віднімаємо цілу частину:
   9 − 4 = 5.
2. 2)У числа 5 немає дробової частини, і відняти $\frac{3}{8}$ не вийде. Беремо з п’яти одну одиницю.
3. 3)Одиницю записуємо дробом зі знаменником 8:
   $1=\frac{8}{8}$. Тоді $5=4\frac{8}{8}$. Кажуть: «позичили» одиницю в цілої частини.
4. 4)Віднімаємо чисельники:
   8 − 3 = 5. Ціла частина 4 лишається.

Швидкий шлях. Відповідь має цілу частину на одиницю меншу, ніж 9 − 4. Дробова частина доповнює $\frac{3}{8}$ до одиниці:
$\frac{3}{8}+\frac{5}{8}=1$.

Відповідь: $4\frac{5}{8}$.

Приклад 8. Дробова частина замала: $3\frac{1}{4}-1\frac{3}{4}$

Знаменники однакові, але від $\frac{1}{4}$ не можна відняти $\frac{3}{4}$: одна чверть менша за три чверті. Подивімося на смужки.

Число $3\frac{1}{4}$: дві цілі смужки, третя смужка, розрізана на чверті, і ще одна чверть. Разом п’ять чвертей:
$3\frac{1}{4}=2\frac{5}{4}$.

1. 1)Порівнюємо дробові частини: 1 менше за 3. Отже, позичаємо одиницю.
2. 2)У цілої частини забираємо 1: було 3, стало 2.
3. 3)Одиниця — це $\frac{4}{4}$. Додаємо її до дробової частини:
   4 + 1 = 5. Виходить $\frac{5}{4}$.
4. 4)Тепер віднімаємо:
   цілі 2 − 1 = 1, дробові 5 − 3 = 2. Дріб $\frac{2}{4}$ скорочуємо на 2.

Чому так. Значення числа не змінилося: $2\frac{5}{4}$ і $3\frac{1}{4}$ — це та сама кількість. Ми лише розрізали одну цілу на частини.

Відповідь: $1\frac{1}{2}$.

Приклад 9. Позичаємо одиницю, знаменники різні: $7\frac{1}{6}-2\frac{3}{4}$

1. 1)Спершу зводимо дробові частини до знаменника 12:
   1 · 2 = 2 і 3 · 3 = 9.
2. 2)Лише тепер порівнюємо чисельники: 2 менше за 9. Позичаємо одиницю.
3. 3)Ціла частина 7 стає 6. Одиниця — це $\frac{12}{12}$, тому чисельник стає 12 + 2 = 14.
4. 4)Віднімаємо:
   цілі 6 − 2 = 4, чисельники 14 − 9 = 5.

Як це пишуть у зошиті. Коротко, трьома рядками:

Позичаємо лише після зведення до спільного знаменника. Інакше не видно, яка дробова частина більша.

Відповідь: $4\frac{5}{12}$.

Приклад 10. Вирази з кількома діями: без дужок і з дужками

Знайди значення виразу: 1) $5\frac{1}{2}+3\frac{2}{3}-4\frac{5}{6}$; 2) $15-\left(6\frac{3}{4}+2\frac{5}{6}\right)$.

1. 1)У першому виразі дужок немає, тож дії виконуємо зліва направо. Спершу додавання: спільний знаменник 6.
2. 2)Дробові частини разом дали $\frac{7}{6}$. Одну цілу переносимо:
   $8\frac{7}{6}=9\frac{1}{6}$.
3. 3)Тепер віднімання. Одна шоста менша за п’ять шостих, тому позичаємо одиницю:
   $9\frac{1}{6}=8\frac{7}{6}$.
4. 4)У другому виразі першою виконуємо дію в дужках. Спільний знаменник 12, сума $9\frac{7}{12}$.
5. 5)Від 15 віднімаємо цілу частину:
   15 − 9 = 6. Потім від 6 віднімаємо $\frac{7}{12}$, як у прикладі 7.

Відповідь: 1) $4\frac{1}{3}$; 2) $5\frac{5}{12}$.

Приклад 11. Зручний спосіб: групуємо дробові частини

Обчисли, використовуючи властивості додавання: $2\frac{3}{10}+4\frac{5}{8}+1\frac{7}{10}$.

1. 1)Шукаємо доданки з однаковими знаменниками: $2\frac{3}{10}$ і $1\frac{7}{10}$. Переставляємо їх поруч і беремо в дужки — це переставна і сполучна властивості.
2. 2)Додаємо:
   2 + 1 = 3 і 3 + 7 = 10. Дріб $\frac{10}{10}$ — це одиниця, тому сума дорівнює 4.
3. 3)До натурального числа 4 додаємо $4\frac{5}{8}$:
   4 + 4 = 8.

Якщо обчислювати по порядку, знадобиться спільний знаменник: НСК (10; 8) = 40. Групування обходиться без нього.

Відповідь: $8\frac{5}{8}$.

Приклад 12. Десятковий дріб і мішане число

Перетвори десятковий дріб у звичайний і обчисли: 1) $6{,}35-2\frac{3}{4}$; 2) $1\frac{5}{6}+3{,}5$.

1. 1)Читаємо десятковий дріб: 6,35 — шість цілих тридцять п’ять сотих. Дріб $\frac{35}{100}$ скорочуємо на 5.
2. 2)Спільний знаменник 20. Чисельник 7 менший за 15, тому позичаємо одиницю.
3. 3)Віднімаємо:
   5 − 2 = 3 і 27 − 15 = 12. Дріб $\frac{12}{20}$ скорочуємо на 4.
4. 4)У другому виразі 3,5 — три цілих п’ять десятих, тобто $3\frac{1}{2}$. Дробові частини разом дали $\frac{8}{6}$, одну цілу переносимо.

Відповідь: 1) $3\frac{3}{5}$; 2) $5\frac{1}{3}$.

Приклад 13. Рівняння

Розв’яжи рівняння: 1) $13\frac{1}{5}-x=6\frac{3}{4}$; 2) $x-3\frac{5}{8}=2\frac{1}{6}$.

1. 1)У першому рівнянні $x$ — від’ємник. Щоб його знайти, від зменшуваного віднімаємо різницю.
2. 2)Спільний знаменник 20. Чотири менше за п’ятнадцять, тому позичаємо одиницю:
   $13\frac{4}{20}=12\frac{24}{20}$.
3. 3)Перевіряємо додаванням: різниця плюс від’ємник має дати зменшуване.
4. 4)У другому рівнянні $x$ — зменшуване. До різниці додаємо від’ємник. Спільний знаменник 24:
   $\frac{1}{6}=\frac{4}{24}$, $\frac{5}{8}=\frac{15}{24}$.

Якщо $x$ — невідомий доданок, як у рівнянні $x+1\frac{1}{2}=4$, від суми віднімаємо відомий доданок:
$x=4-1\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$.

Відповідь: 1) $x=6\frac{9}{20}$; 2) $x=5\frac{19}{24}$.

Приклад 14. Рівняння з дужками

Розв’яжи рівняння: 1) $\left(x-2\frac{1}{3}\right)+4\frac{1}{2}=9\frac{5}{6}$.

Друге рівняння: 2) $8\frac{3}{4}-\left(x+1\frac{1}{2}\right)=3\frac{1}{8}$.

1. 1)У першому рівнянні дужка — невідомий доданок. Від суми віднімаємо відомий доданок: виходить $5\frac{1}{3}$.
2. 2)Тепер $x$ — зменшуване:
   $x-2\frac{1}{3}=5\frac{1}{3}$. До різниці додаємо від’ємник.
3. 3)У другому рівнянні дужка — від’ємник. Від зменшуваного віднімаємо різницю: виходить $5\frac{5}{8}$.
4. 4)Тепер $x$ — невідомий доданок. Від суми віднімаємо відомий доданок $1\frac{1}{2}=1\frac{4}{8}$.

Дужку спершу вважаємо одним невідомим числом. Коли її значення знайдено, розв’язуємо просте рівняння.

Відповідь: 1) $x=7\frac{2}{3}$; 2) $x=4\frac{1}{8}$.

Приклад 15. «На … менше» і скільки разом

У першому кошику $6\frac{3}{4}$ кг яблук, а в другому — на $1\frac{5}{6}$ кг менше. Скільки кілограмів яблук у двох кошиках?

1. 1)«На $1\frac{5}{6}$ кг менше» — віднімання. Спільний знаменник 12, дробові частини 9 і 10.
2. 2)Дев’ять менше за десять, тому позичаємо одиницю:
   $6\frac{9}{12}=5\frac{21}{12}$.
3. 3)Запитання «скільки в двох кошиках» — додавання. Дробові частини дали $\frac{20}{12}$, переносимо одну цілу.
4. 4)Дріб $\frac{8}{12}$ скорочуємо на 4.

Відповідь: $11\frac{2}{3}$ кг.

Приклад 16. Відомо, скільки разом: де більше й на скільки

У двох бідонах разом $17\frac{1}{4}$ л молока, у першому — $8\frac{5}{6}$ л. У якому бідоні молока більше і на скільки?

1. 1)Спершу знаходимо, скільки молока в другому бідоні: від усього молока віднімаємо молоко першого бідона.
2. 2)Спільний знаменник 12. Три менше за десять, тому позичаємо одиницю:
   $17\frac{3}{12}=16\frac{15}{12}$.
3. 3)Цілі частини в обох бідонах однакові — 8. Порівнюємо дробові: $\frac{10}{12}$ більше за $\frac{5}{12}$.
4. 4)«На скільки більше» — віднімання:
   10 − 5 = 5, цілих лишається 0.

Так само розв’язують задачу про стрічку з двох частин. Довжина стрічки — сума частин, а різниця показує, на скільки одна частина довша.

Відповідь: у першому бідоні, на $\frac{5}{12}$ л.

Приклад 17. За течією й проти течії

Власна швидкість катера — $14\frac{2}{3}$ км/год, а швидкість течії — $2\frac{3}{4}$ км/год. Знайди швидкість катера за течією і проти течії.

1. 1)Зводимо дробові частини до знаменника 12:
   $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ і $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$.
2. 2)За течією річка допомагає: додаємо. Дробові частини дали $\frac{17}{12}$, переносимо одну цілу.
3. 3)Проти течії річка заважає: віднімаємо. Вісім менше за дев’ять, тому позичаємо одиницю.

Відповідь: $17\frac{5}{12}$ км/год за течією, $11\frac{11}{12}$ км/год проти течії.

Приклад 18. Периметр трикутника

Одна сторона трикутника — $8\frac{1}{2}$ дм, друга — на $1\frac{3}{4}$ дм коротша за першу, а третя — на $2\frac{1}{3}$ дм довша за другу. Знайди периметр трикутника.

1. 1)«Коротша на $1\frac{3}{4}$ дм» — віднімання. $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, а дві четвертих менше за три четвертих, тому позичаємо одиницю.
2. 2)«Довша на $2\frac{1}{3}$ дм» — додавання. Третю сторону знаходимо від другої, а не від першої:
   $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$, $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$.
3. 3)Периметр — сума трьох сторін. Спільний знаменник для 2, 4 і 12 — це 12:
   $\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$, $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$.
4. 4)Дробові частини дали $\frac{16}{12}$: переносимо одну цілу, а $\frac{4}{12}$ скорочуємо на 4.

Периметр прямокутника знаходять так само — додаванням чотирьох сторін: дві однакові довжини і дві однакові ширини.

Відповідь: $24\frac{1}{3}$ дм.

Приклад 19. Переклали — стало порівну

У першій коробці було $9\frac{1}{4}$ кг печива. Коли з неї переклали в другу коробку $2\frac{3}{8}$ кг, печива в коробках стало порівну. Скільки кілограмів печива було в другій коробці спочатку?

1. 1)Після перекладання в першій коробці лишилося $9\frac{1}{4}-2\frac{3}{8}$. Спільний знаменник 8, позичаємо одиницю.
2. 2)У другій коробці стало стільки ж: $6\frac{7}{8}$ кг. Але разом із тим печивом, яке туди переклали.
3. 3)Щоб дізнатися, скільки було спочатку, віднімаємо перекладене:
   6 − 2 = 4 і 7 − 3 = 4.

Перевірка. Спочатку різниця між коробками була $9\frac{1}{4}-4\frac{1}{2}=4\frac{3}{4}$ кг. Це вдвічі більше за перекладене печиво:
$2\frac{3}{8}+2\frac{3}{8}=4\frac{3}{4}$.

Так і має бути: одна коробка втратила $2\frac{3}{8}$ кг, а друга стільки ж отримала.

Відповідь: $4\frac{1}{2}$ кг.

Приклад 20. Проміжки перекриваються

За 3 год пішохід пройшов $13\frac{1}{2}$ км. За перші 2 год він пройшов $9\frac{1}{4}$ км, а за останні 2 год — $8\frac{5}{6}$ км. Скільки кілометрів він пройшов за кожну годину?

1. 1)Перші 2 год — це 1-ша і 2-га години. Отже, від усього шляху за 3 год віднімаємо їх і дістаємо 3-тю годину.
2. 2)Останні 2 год — це 2-га і 3-тя години. Від усього шляху віднімаємо їх і дістаємо 1-шу годину.
3. 3)2-гу годину знаходимо з перших двох годин: $9\frac{1}{4}$ мінус 1-ша година.
4. 4)Перевірка:
   $4\frac{8}{12}+4\frac{7}{12}+4\frac{3}{12}=12\frac{18}{12}$. Це $13\frac{6}{12}=13\frac{1}{2}$ км.

Так само розв’язують задачу, де троє дітей разом зібрали ягоди і відомо, скільки зібрала кожна пара. Одна дитина — це все мінус пара, у якій її немає.

Відповідь: $4\frac{2}{3}$ км, $4\frac{7}{12}$ км і $4\frac{1}{4}$ км.

Приклад 21. Як зміниться сума

Як зміниться сума двох чисел?

1) Один доданок збільшили на $1\frac{2}{5}$, а інший — на $3\frac{1}{2}$.

2) Один доданок збільшили на $2\frac{3}{4}$, а інший зменшили на $1\frac{5}{6}$.

1. 1)Коли доданок збільшують, сума збільшується на стільки ж. Обидва збільшення додаємо.
2. 2)У другому випадку сума на $2\frac{3}{4}$ більшає і на $1\frac{5}{6}$ меншає. Яке число більше?
3. 3)Зводимо до знаменника 12: $2\frac{9}{12}$ і $1\frac{10}{12}$. Ціла частина першого більша, тож сума зросте.
4. 4)На скільки: від більшого віднімаємо менше, позичаючи одиницю.

Якби зменшення було більшим за збільшення, сума зменшилася б на їхню різницю.

Самі доданки в умові не названі. Відповідь від них не залежить.

Відповідь: 1) збільшиться на $4\frac{9}{10}$; 2) збільшиться на $\frac{11}{12}$.