Основна властивість дробу: як скоротити дріб і звести до нового знаменника, 6 клас

Приклад 1. Скоротити дріб $\frac{6}{8}$

1. 1)Числа 6 і 8 діляться на 2. Ділимо обидва:
   6 : 2 = 3 і 8 : 2 = 4.
2. 2)Записуємо новий дріб $\frac{3}{4}$. Кажуть: дріб скорочено на 2.
3. 3)Числа 3 і 4 не мають спільних дільників, більших за 1. Скорочення закінчено.

Як це пишуть у зошиті. Дію ділення зазвичай не записують. Чисельник і знаменник закреслюють, а дрібно поруч пишуть частки.

Дрібні числа 3 і 4 — це частки від ділення 6 : 2 і 8 : 2.

Відповідь: $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

Приклад 2. Скоротити дріб $\frac{18}{24}$ двома способами

1. 1)Перший спосіб. Числа 18 і 24 парні, тому ділимо їх на 2. Виходить $\frac{9}{12}$.
2. 2)Числа 9 і 12 діляться на 3. Ділимо ще раз і дістаємо $\frac{3}{4}$.
3. 3)Другий спосіб. Виписуємо множники, які є в обох розкладах: 2 і 3. Їхній добуток дорівнює 6.
4. 4)Ділимо обидва числа на 6 й одразу дістаємо $\frac{3}{4}$.

Чому результат однаковий? У першому способі ми поділили на 2, потім на 3. Разом це ділення на 6.

Відповідь: $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$.

Приклад 3. Скоротити до нескоротного дробу

1. 1)У першому дробі знаменник 7 є дільником чисельника 28. Після скорочення в знаменнику лишається 1, тому дріб дорівнює натуральному числу 4.
2. 2)У другому дробі 1000 ділиться на 40 без остачі. Ділимо обидва числа на 40.
3. 3)У третьому дробі сума цифр 5 + 4 = 9 і 8 + 1 = 9. Обидва числа діляться на 3.
4. 4)Після першого кроку дістали 18 і 27. Вони діляться на 9, тому скорочуємо ще раз.

Разом ми поділили на 3, потім на 9. Це те саме, що поділити одразу на 3 · 9 = 27.

Відповідь: 4; $\frac{1}{25}$; $\frac{2}{3}$.

Приклад 4. Скоротити $\frac{168}{420}$ розкладом на прості множники

1. 1)Просте число ділиться лише на 1 і на себе: 2, 3, 5, 7, 11.
2. 2)Щоб розкласти число, ділимо його на найменше просте число, потім ділимо частку. Робимо так, доки не дістанемо 1.
3. 3)Для 168 ділили тричі на 2, потім на 3 і на 7. Виписуємо всі дільники в добуток.
4. 4)Так само розкладаємо 420. Записуємо обидва розклади один під одним.
5. 5)Множники 2, 2, 3 і 7 є в обох розкладах. Їхній добуток дорівнює 84.
6. 6)Ділимо на 84:
   168 : 84 = 2 і 420 : 84 = 5.

Такий спосіб зручний для великих чисел, коли спільний дільник важко побачити.

Відповідь: $\frac{168}{420}=\frac{2}{5}$.

Приклад 5. Звести дріб до нового знаменника

1. 1)Ділимо новий знаменник на старий:
   40 : 8 = 5. Число 5 — це додатковий множник.
2. 2)Множимо на 5 і чисельник, і знаменник:
   3 · 5 = 15 та 8 · 5 = 40.
3. 3)Так само в другому пункті:
   50 : 10 = 5, далі 7 · 5 = 35 та 10 · 5 = 50.
4. 4)У третьому пункті 12 на 8 не ділиться без остачі. Новий знаменник має бути кратним старому, тобто ділитися на нього без остачі.

Як це пишуть у зошиті. Дію множення теж не записують. Додатковий множник ставлять дрібно вгорі біля чисельника й відокремлюють косою рискою.

Дрібна 5 з косою рискою — додатковий множник для дробу $\frac{3}{8}$.

Відповідь: $\frac{15}{40}$; $\frac{35}{50}$; звести неможливо.

Приклад 6. Записати рівні дроби

1. 1)Щоб дістати більші числа, множимо чисельник і знаменник на 2, потім на 3, потім на 10.
2. 2)Щоб дістати менші числа, ділимо на спільні дільники 24 і 40. Це 2, 4 і 8.
3. 3)Останній дріб $\frac{3}{5}$ нескоротний, бо 3 і 5 взаємно прості.

Як перевірити чужу рівність. Скороти обидва дроби до нескоротних. Якщо вийшли однакові дроби, рівність правильна.

Відповідь: $\frac{4}{14}$, $\frac{6}{21}$, $\frac{20}{70}$; $\frac{12}{20}$, $\frac{6}{10}$, $\frac{3}{5}$.

Приклад 7. Знайти невідоме число за основною властивістю дробу

1. 1)Порівнюємо знаменники 6 і 54. Знаменник збільшили в 9 разів.
2. 2)За основною властивістю дробу чисельник треба збільшити так само:
   5 · 9 = 45.
3. 3)У другій рівності відомі обидва чисельники:
   36 : 4 = 9. Отже, множник знову 9.
4. 4)Знаменник 7 множимо на 9 і дістаємо 63.

Відповідь: $x=45$; $y=63$.

Приклад 8. Записати величину нескоротним дробом

1. 1)Відсоток — це сота частина. Тому 24 % — це $\frac{24}{100}$. Скорочуємо на 4.
2. 2)Десятковий дріб 0,35 читаємо «35 сотих». Записуємо $\frac{35}{100}$ і скорочуємо на 5.
3. 3)У задачі про частину величини в знаменник іде ціле, а в чисельник — його частина. В одній годині 60 хв.
4. 4)В одному метрі 100 см, тому знаменник дорівнює 100.
5. 5)Розгорнутий кут дорівнює 180°, а прямий — 90°. У знаменник іде градусна міра того кута, про який питають.

Відповідь: $\frac{6}{25}$; $\frac{7}{20}$; $\frac{2}{5}$ години; $\frac{9}{20}$ метра; $\frac{2}{5}$ розгорнутого кута.

Приклад 9. Виконати дію і скоротити результат

1. 1)Знаменники однакові, тому додаємо чисельники:
   5 + 7 = 12.
2. 2)Дріб $\frac{12}{18}$ скорочуємо на 6 і дістаємо $\frac{2}{3}$.
3. 3)У другому прикладі віднімаємо чисельники:
   17 − 5 = 12. Дріб $\frac{12}{24}$ скорочуємо на 12.
4. 4)У мішаних числах окремо додаємо цілі частини (2 + 3 = 5) і окремо чисельники (5 + 1 = 6). Віднімаємо так само окремо.
5. 5)Дробову частину $\frac{6}{12}$ теж скорочуємо. Ціла частина при цьому не змінюється.

Відповідь у задачі майже завжди записують нескоротним дробом.

Відповідь: $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{2}$; $5\frac{1}{2}$.

Приклад 10. Відновити запис

1. 1)Дивимося на знаменники 36 і 9. Знаменник зменшили в 4 рази.
2. 2)Чисельник теж ділимо на 4:
   24 : 4 = 6. Перше пропущене число дорівнює 6.
3. 3)У наступній рівності чисельник 6 став числом 2. Отже, ділили на 3.
4. 4)Знаменник теж ділимо на 3:
   9 : 3 = 3. Друге пропущене число дорівнює 3.

Відповідь: $\frac{24}{36}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

Приклад 11. Розв'язати рівняння $\frac{x-4}{30}=\frac{2}{5}$

1. 1)Зводимо правий дріб до знаменника 30. Додатковий множник:
   30 : 5 = 6.
2. 2)Множимо чисельник:
   2 · 6 = 12. Дістаємо $\frac{12}{30}$.
3. 3)Знаменники однакові, тому й чисельники рівні:
   $x-4=12$.
4. 4)Звідси $x=16$. Перевірка:
   $\frac{16-4}{30}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$.

Відповідь: $x=16$.

Приклад 12. Дріб скоротили — знайти букви

Дріб $\frac{a}{96}$ скоротили на 12 і дістали $\frac{7}{b}$. Знайди значення $a$ і $b$.

1. 1)Скорочення на 12 означає, що чисельник і знаменник поділили на 12.
2. 2)Після ділення чисельник став числом 7. Тому до скорочення він дорівнював 7 · 12 = 84.
3. 3)Знаменник 96 поділили на 12:
   96 : 12 = 8. Отже, $b=8$.

Відповідь: $a=84$, $b=8$.

Приклад 13. Скоротити дріб з буквами

Буквами позначено натуральні числа.

1. 1)У першому дробі числа 9 і 12 діляться на 3. Буква $m$ є і в чисельнику, і в знаменнику.
2. 2)Ділимо на $3m$ і дістаємо $\frac{3}{4}$.
3. 3)У другому дробі 15 і 20 діляться на 5, а буква $b$ є в обох частинах дробу.
4. 4)Ділимо на $5b$. Буква $a$ лишається в чисельнику: виходить $\frac{3a}{4}$.

Відповідь: $\frac{3}{4}$; $\frac{3a}{4}$.

Приклад 14. Позначити дроби на координатному промені

Одиничний відрізок — 10 клітинок. Познач точки $\frac{4}{10}$, $\frac{2}{5}$ і $\frac{7}{10}$.

1. 1)Одиничний відрізок ділимо на 10 рівних клітинок, бо знаменник дробу дорівнює 10.
2. 2)Для $\frac{4}{10}$ відкладаємо від нуля 4 клітинки. Дістаємо точку A.
3. 3)Дріб $\frac{2}{5}$ зводимо до знаменника 10. Множник:
   10 : 5 = 2, тому $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$.
4. 4)Це та сама точка A. Рівні дроби позначають одну точку променя.
5. 5)Для $\frac{7}{10}$ відкладаємо 7 клітинок. Дістаємо точку B.

Кількість клітинок в одиничному відрізку добирають так, щоб вона ділилася на всі знаменники.

Відповідь: $\frac{4}{10}$ і $\frac{2}{5}$ — точка A; $\frac{7}{10}$ — точка B.