Сторінка 53
490. Через одну трубу резервуар наповнюється за 9 хв, а через другу — за 18 хв. За скільки хвилин наповниться резервуар, якщо обидві труби відкрити одночасно?
Розв'язок:
Увесь резервуар приймемо за 1.
1) $1 : 9 = \frac{1}{9}$ (рез.) — наповнює перша труба за 1 хв.
2) $1 : 18 = \frac{1}{18}$ (рез.) — наповнює друга труба за 1 хв.
3) $\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$ (рез.) — наповнюють обидві труби за 1 хв.
4) $1 : \frac{1}{6} = 1 \cdot \frac{6}{1} = 6$ (хв) — наповниться резервуар.
Відповідь: за 6 хв.
491. Розв'яжи рівняння:
1) $3\frac{3}{14} - 3\frac{2}{3}y = 1\frac{8}{21}$;
2) $(\frac{7}{12} + \frac{1}{9}y) : 3\frac{2}{3} = \frac{1}{6}$;
3) $\frac{7}{12}x - \frac{1}{6}x + \frac{5}{18}x = \frac{5}{6}$;
4) $x - \frac{7}{18}x = 1\frac{19}{36}$.
Розв'язок:
1) $3\frac{3}{14} - 3\frac{2}{3}y = 1\frac{8}{21}$
$3\frac{2}{3}y = 3\frac{3}{14} - 1\frac{8}{21}$
$3\frac{2}{3}y = 3\frac{9}{42} - 1\frac{16}{42}$
$3\frac{2}{3}y = 2\frac{51}{42} - 1\frac{16}{42}$
$3\frac{2}{3}y = 1\frac{35}{42}$
$3\frac{2}{3}y = 1\frac{5}{6}$
$y = 1\frac{5}{6} : 3\frac{2}{3}$
$y = \frac{11}{6} : \frac{11}{3} = \frac{11}{6} \cdot \frac{3}{11} = \frac{1}{2}$
2) $(\frac{7}{12} + \frac{1}{9}y) : 3\frac{2}{3} = \frac{1}{6}$
$\frac{7}{12} + \frac{1}{9}y = \frac{1}{6} \cdot 3\frac{2}{3}$
$\frac{7}{12} + \frac{1}{9}y = \frac{1}{6} \cdot \frac{11}{3}$
$\frac{7}{12} + \frac{1}{9}y = \frac{11}{18}$
$\frac{1}{9}y = \frac{11}{18} - \frac{7}{12}$
$\frac{1}{9}y = \frac{22}{36} - \frac{21}{36}$
$\frac{1}{9}y = \frac{1}{36}$
$y = \frac{1}{36} : \frac{1}{9}$
$y = \frac{1}{36} \cdot \frac{9}{1} = \frac{1}{4}$
3) $\frac{7}{12}x - \frac{1}{6}x + \frac{5}{18}x = \frac{5}{6}$
$(\frac{21}{36} - \frac{6}{36} + \frac{10}{36})x = \frac{5}{6}$
$\frac{25}{36}x = \frac{5}{6}$
$x = \frac{5}{6} : \frac{25}{36}$
$x = \frac{5}{6} \cdot \frac{36}{25} = \frac{5 \cdot 36}{6 \cdot 25} =$
$= \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$
4) $x - \frac{7}{18}x = 1\frac{19}{36}$
$(1 - \frac{7}{18})x = 1\frac{19}{36}$
$\frac{11}{18}x = \frac{55}{36}$
$x = \frac{55}{36} : \frac{11}{18}$
$x = \frac{55}{36} \cdot \frac{18}{11} = \frac{55 \cdot 18}{36 \cdot 11} =$
$= \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$
Відповідь: 1) $\frac{1}{2}$;
2) $\frac{1}{4}$;
3) $1\frac{1}{5}$;
4) $2\frac{1}{2}$.
492. Знайди корінь рівняння:
1) $4\frac{8}{15} - \frac{11}{12}x = 2\frac{7}{10}$;
2) $(\frac{1}{18} + \frac{2}{3}x) : \frac{5}{6} = \frac{1}{5}$;
3) $\frac{3}{7}y + \frac{1}{21}y - \frac{5}{14}y = \frac{10}{21}$;
4) $y - \frac{4}{11}y = 1\frac{16}{33}$.
Розв'язок:
1) $4\frac{8}{15} - \frac{11}{12}x = 2\frac{7}{10}$
$\frac{11}{12}x = 4\frac{8}{15} - 2\frac{7}{10}$
$\frac{11}{12}x = 4\frac{16}{30} - 2\frac{21}{30}$
$\frac{11}{12}x = 3\frac{46}{30} - 2\frac{21}{30}$
$\frac{11}{12}x = 1\frac{25}{30}$
$\frac{11}{12}x = 1\frac{5}{6}$
$x = 1\frac{5}{6} : \frac{11}{12}$
$x = \frac{11}{6} \cdot \frac{12}{11} = \frac{11 \cdot 12}{6 \cdot 11} = 2$
2) $(\frac{1}{18} + \frac{2}{3}x) : \frac{5}{6} = \frac{1}{5}$
$\frac{1}{18} + \frac{2}{3}x = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$
$\frac{1}{18} + \frac{2}{3}x = \frac{1}{6}$
$\frac{2}{3}x = \frac{1}{6} - \frac{1}{18}$
$\frac{2}{3}x = \frac{3}{18} - \frac{1}{18}$
$\frac{2}{3}x = \frac{2}{18}$
$\frac{2}{3}x = \frac{1}{9}$
$x = \frac{1}{9} : \frac{2}{3}$
$x = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{1}{6}$
3) $\frac{3}{7}y + \frac{1}{21}y - \frac{5}{14}y = \frac{10}{21}$
$(\frac{18}{42} + \frac{2}{42} - \frac{15}{42})y = \frac{10}{21}$
$\frac{5}{42}y = \frac{10}{21}$
$y = \frac{10}{21} : \frac{5}{42}$
$y = \frac{10}{21} \cdot \frac{42}{5} = \frac{10 \cdot 42}{21 \cdot 5} = 4$
4) $y - \frac{4}{11}y = 1\frac{16}{33}$
$(1 - \frac{4}{11})y = 1\frac{16}{33}$
$\frac{7}{11}y = \frac{49}{33}$
$y = \frac{49}{33} : \frac{7}{11}$
$y = \frac{49}{33} \cdot \frac{11}{7} = \frac{49 \cdot 11}{33 \cdot 7} =$
$= \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$
Відповідь: 1) $2$;
2) $\frac{1}{6}$;
3) $4$;
4) $2\frac{1}{3}$.
493. Два туристи вирушили одночасно з одного пункту у протилежних напрямках. Швидкість одного з них — 5 км/год, а швидкість другого — в $1\frac{1}{9}$ раза менша. Через скільки годин після початку руху відстань між ними буде 19 км?
Розв'язок:
1) Швидкість другого туриста:
$5 : 1\frac{1}{9} = \frac{5}{1} : \frac{10}{9} = \frac{5}{1} \cdot \frac{9}{10} =$
$= \frac{5 \cdot 9}{1 \cdot 10} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$ (км/год).
2) $5 + 4\frac{1}{2} = 9\frac{1}{2}$ (км/год) — на стільки збільшується відстань між туристами щогодини.
3) $19 : 9\frac{1}{2} = \frac{19}{1} : \frac{19}{2} = \frac{19}{1} \cdot \frac{2}{19} = 2$ (год).
Відповідь: через 2 год.
494. З двох сіл одночасно назустріч один одному вирушили два велосипедисти. Швидкість одного з них — 18 км/год, а другого — в $1\frac{1}{5}$ раза менша. Через скільки годин після початку руху велосипедисти зустрінуться, якщо відстань між містами становить $16\frac{1}{2}$ км?
Розв'язок:
1) Швидкість другого велосипедиста:
$18 : 1\frac{1}{5} = \frac{18}{1} : \frac{6}{5} = \frac{18}{1} \cdot \frac{5}{6} =$
$= \frac{18 \cdot 5}{1 \cdot 6} = 15$ (км/год).
2) $18 + 15 = 33$ (км/год) — на стільки зменшується відстань між велосипедистами щогодини.
3) $16\frac{1}{2} : 33 = \frac{33}{2} \cdot \frac{1}{33} = \frac{1}{2}$ (год).
Відповідь: через $\frac{1}{2}$ год.
495. Відстань між легковим і вантажним автомобілями — 27 км. Вони одночасно починають рухатися в одному напрямку. Швидкість легкового автомобіля, що рухається позаду, дорівнює 90 км/год, а швидкість вантажного — в $1\frac{1}{4}$ раза менша. Через скільки годин легковий автомобіль наздожене вантажний?
Розв'язок:
1) Швидкість вантажного автомобіля:
$90 : 1\frac{1}{4} = \frac{90}{1} : \frac{5}{4} = \frac{90}{1} \cdot \frac{4}{5} =$
$= \frac{90 \cdot 4}{1 \cdot 5} = 72$ (км/год).
2) $90 - 72 = 18$ (км/год) — на стільки зменшується відстань між автомобілями щогодини.
3) $27 : 18 = \frac{27}{18} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$ (год).
Відповідь: через $1\frac{1}{2}$ год.
496. З одного міста одночасно в одному напрямку вирушили два автомобілі. Швидкість одного з них дорівнює 80 км/год, а другого — в $1\frac{1}{9}$ раза менша. Через скільки годин після початку руху відстань між ними буде 34 км?
Розв'язок:
1) Швидкість другого автомобіля:
$80 : 1\frac{1}{9} = \frac{80}{1} : \frac{10}{9} = \frac{80}{1} \cdot \frac{9}{10} =$
$= \frac{80 \cdot 9}{1 \cdot 10} = 72$ (км/год).
2) $80 - 72 = 8$ (км/год) — на стільки збільшується відстань між автомобілями щогодини.
3) $34 : 8 = \frac{34}{8} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$ (год).
Відповідь: через $4\frac{1}{4}$ год.