Ти навчишся знаходити десяткове наближення звичайного дробу до одиниць, десятих, сотих або тисячних. А ще — виконувати дії з періодичними дробами через їхні наближення.
Уже розв’язав завдання, але відповідь відрізняється на одиницю в останній цифрі? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке десяткове наближення
Поділимо 2 на 3:
$\frac{2}{3}$ = 0,666… Шістки не закінчуються. Записати їх усі неможливо, а рахувати з таким числом незручно.
Такі дроби ти бачив у § 7, їх називають нескінченними періодичними.
Цифри, що повторюються без кінця, — це період. Його пишуть один раз у дужках:
0,666… = 0,(6), 1,3636… = 1,(36).
Щоб рахувати з таким дробом, його округлюють до потрібного розряду. До сотих: $\frac{2}{3}$ ≈ 0,67. Знак «≈» читають як «приблизно дорівнює».
У дробі 0,67 лише дві цифри після коми — це скінченний десятковий дріб. Його називають десятковим наближенням дробу $\frac{2}{3}$ до сотих. Що більше цифр після коми, то точніше наближення: 0,7 → 0,67 → 0,667.
Як округлювати (з 5 класу). Дивимося на цифру, що стоїть одразу після потрібного розряду.
Якщо це 0, 1, 2, 3 або 4 — цифру розряду залишаємо без змін. Якщо 5, 6, 7, 8 або 9 — збільшуємо її на 1. Усі цифри після розряду відкидаємо.
Приклад: 0,666… до сотих. Цифра сотих — 6, наступна — теж 6. Збільшуємо: 0,67.
Якщо цифра розряду — 9. 9 + 1 = 10. На місці дев’ятки пишемо 0, а 1 додаємо до цифри ліворуч. Приклад:
$\frac{29}{30}$ = 0,966… до десятих — 0,9 стає 1,0.
Нуль у кінці не відкидаємо: він показує, до якого розряду округлили: 1,0 — до десятих, 3,00 — до сотих.
Алгоритм
Поділи на один розряд далі → округли → постав «≈»
- Визнач розряд: до одиниць — жодної цифри після коми, до десятих — одна, до сотих — дві, до тисячних — три.
- Поділи чисельник на знаменник до наступного розряду. Потрібні соті — ділимо до тисячних. У мішаному числі ділимо лише дробову частину.
- Округли за останньою цифрою: 0–4 — відкидаємо, 5–9 — додаємо 1 до попередньої цифри.
- Запиши зі знаком «≈». Наближення не дорівнює дробу точно.
Якщо дріб уже записано з періодом у дужках, спершу розпиши період кілька разів:
1,(36) = 1,3636…
Розв’язані приклади
Приклад 1. Кілька наближень одного дробу: $\frac{23}{7}$
Відомо, що $\frac{23}{7}$ = 3,285714… Знайди десяткові наближення цього дробу до одиниць, десятих, сотих і тисячних.
| одиниці | десяті | соті | тисячні | далі |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 8 | 5 | 7 |
| $\frac{23}{7}$ ≈ 3 — до одиниць |
| $\frac{23}{7}$ ≈ 3,3 — до десятих |
| $\frac{23}{7}$ ≈ 3,29 — до сотих |
| $\frac{23}{7}$ ≈ 3,286 — до тисячних |
- 1)До одиниць: після 3 стоїть 2. Залишаємо 3.
- 2)До десятих: після 2 стоїть 8. Збільшуємо 2 на 1: 3,3.
- 3)До сотих: після 8 стоїть 5. Збільшуємо 8 на 1: 3,29.
- 4)До тисячних: після 5 стоїть 7. Збільшуємо 5 на 1: 3,286.
Відповідь: 3; 3,3; 3,29; 3,286.
Приклад 2. Мішане число з періодом: $1\frac{4}{11}$ = 1,(36)
Відомо, що $1\frac{4}{11}$ = 1,(36). Знайди десяткові наближення до десятих, сотих і тисячних.
| $1\frac{4}{11}$ = 1,(36) = 1,3636… |
| $1\frac{4}{11}$ ≈ 1,4 — до десятих |
| $1\frac{4}{11}$ ≈ 1,36 — до сотих |
| $1\frac{4}{11}$ ≈ 1,364 — до тисячних |
- 1)Розписуємо період двічі: 1,3636… Тепер видно цифру після кожного розряду.
- 2)До десятих: після 3 стоїть 6. Збільшуємо: 1,4.
- 3)До сотих: після 6 стоїть 3. Залишаємо: 1,36.
- 4)До тисячних: після 3 стоїть 6. Збільшуємо: 1,364.
Відповідь: 1,4; 1,36; 1,364.
Приклад 3. Ділимо самі: $\frac{5}{13}$ до десятих і до сотих
$\frac{5}{13}$ = 5 : 13. Для сотих треба три цифри після коми, тому ділимо кутом до тисячних.
| − | 5, | 0 | 1 | 3 | |||
| 3 | 9 | 0, | 3 | 8 | 4 | ||
| − | 1 | 1 | 0 | ||||
| 1 | 0 | 4 | |||||
| − | 6 | 0 | |||||
| 5 | 2 | ||||||
| 8 | 0 |
- 1)5 менше за 13: у частці «0,». Ділимо 50:
13 · 3 = 39, остача 11. - 2)Дописуємо нуль: 110. 13 · 8 = 104, остача 6.
- 3)Дописуємо нуль: 60. 13 · 4 = 52, остача 8. Маємо 0,384… — далі ділити не треба.
- 4)До сотих: 0,38, наступна цифра 4. Залишаємо: $\frac{5}{13}$ ≈ 0,38.
- 5)До десятих вистачило б двох цифр: 0,38. Після 3 стоїть 8, збільшуємо: $\frac{5}{13}$ ≈ 0,4.
Відповідь: $\frac{5}{13}$ ≈ 0,4 (до десятих); $\frac{5}{13}$ ≈ 0,38 (до сотих).
Приклад 4. Нуль у частці: $\frac{3}{70}$ до сотих
3 : 70. Для сотих ділимо до тисячних.
| − | 3, | 0 | 0 | 7 | 0 | |||
| 2 | 8 | 0 | 0, | 0 | 4 | 2 | ||
| − | 2 | 0 | 0 | |||||
| 1 | 4 | 0 | ||||||
| 6 | 0 | 0 |
- 1)3 менше за 70: у частці «0,». Дописуємо нуль: 30 — теж менше за 70. У частку пишемо 0 і дописуємо ще нуль: 300.
- 2)70 · 4 = 280, остача 20. Дописуємо нуль: 200.
- 3)70 · 2 = 140, остача 60. Маємо 0,042… — цифра тисячних уже є.
- 4)До сотих: 0,04, наступна цифра 2. Залишаємо: $\frac{3}{70}$ ≈ 0,04.
Нуль одразу після коми — теж цифра частки. Без нього вийшло б 0,42, а це в десять разів більше.
Відповідь: $\frac{3}{70}$ ≈ 0,04.
Приклад 5. Мішане число: $2\frac{5}{27}$ до сотих
Ділимо лише дробову частину: 5 : 27. Цілу частину 2 додамо в кінці.
| − | 5, | 0 | 2 | 7 | |||
| 2 | 7 | 0, | 1 | 8 | 5 | ||
| − | 2 | 3 | 0 | ||||
| 2 | 1 | 6 | |||||
| − | 1 | 4 | 0 | ||||
| 1 | 3 | 5 | |||||
| 5 | 0 |
$2\frac{5}{27}$ = 2 + 0,185… = 2,185… ≈ 2,19
- 1)Ділимо 5 на 27 до тисячних: 0,185…
- 2)Додаємо цілу частину: 2,185…
- 3)До сотих: після 8 стоїть 5. Збільшуємо 8 на 1: 2,19.
Відповідь: $2\frac{5}{27}$ ≈ 2,19.
Приклад 6. Швидкість: відповідь округли до сотих
Автобус проїхав 250 км за 7 год. Знайди його швидкість. Відповідь округли до сотих км/год.
| − | 2 | 5 | 0, | 0 | 7 | ||||
| 2 | 1 | 3 | 5, | 7 | 1 | 4 | |||
| − | 4 | 0 | |||||||
| 3 | 5 | ||||||||
| − | 5 | 0 | |||||||
| 4 | 9 | ||||||||
| − | 1 | 0 | |||||||
| 7 | |||||||||
| − | 3 | 0 | |||||||
| 2 | 8 | ||||||||
| 2 | 0 |
- 1)Швидкість — це шлях, поділений на час: 250 : 7.
- 2)Ділимо до тисячних: 35,714…
- 3)До сотих: після 1 стоїть 4. Залишаємо: 35,71.
Відповідь: швидкість автобуса ≈ 35,71 км/год.
Приклад 7. Рівняння: корінь до сотих
Розв’яжи рівняння й знайди десяткове наближення кореня до сотих: 1) 9x = 4; 2) 11 : x = 3.
| 1) | x = 4 : 9 = 0,444… ≈ 0,44 |
| 2) | x = 11 : 3 = 3,666… ≈ 3,67 |
- 1)У першому рівнянні x — невідомий множник. Ділимо добуток 4 на відомий множник 9: 0,444…
- 2)Після сотих стоїть 4: x ≈ 0,44.
- 3)У другому x — невідомий дільник. Ділимо ділене 11 на частку 3: 3,666…
- 4)Після сотих стоїть 6: x ≈ 3,67.
Перевірка: 9 · 0,44 = 3,96 — майже 4. І 3 · 3,67 = 11,01 — майже 11. Точно не збігається, бо корінь наближений.
Відповідь: 1) x ≈ 0,44; 2) x ≈ 3,67.
Приклад 8. Сторона ділянки за площею
Площа прямокутної ділянки — 1540 м², одна сторона — 65 м. Знайди другу сторону. Відповідь округли до сотих метра.
| 1) | S = a · b, тому b = S : a |
| 2) | 1540 : 65 = 23,692… ≈ 23,69 (м) |
- 1)Площа прямокутника — добуток сторін. Тому невідому сторону шукаємо діленням: 1540 : 65.
- 2)Ділимо 1540 на 65 кутом до тисячних, як у прикладі 6: 23,692…
- 3)Після сотих стоїть 2. Залишаємо: 23,69.
Відповідь: друга сторона ≈ 23,69 м.
Приклад 9. Середня швидкість з мішаними числами
Велосипедист їхав 3 год.
За першу годину він проїхав $10\frac{3}{4}$ км, за другу — $11\frac{2}{5}$ км, за третю — $9\frac{1}{2}$ км. Знайди середню швидкість. Відповідь округли до десятих км/год.
| 1) | $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}$; $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$; $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$ |
| 2) | $10\frac{3}{4}$ = 10,75; $11\frac{2}{5}$ = 11,4; $9\frac{1}{2}$ = 9,5 |
| 3) | 10,75 + 11,4 + 9,5 = 31,65 (км) |
| 4) | 31,65 : 3 = 10,55 ≈ 10,6 (км/год) |
- 1)Дробові частини зводимо до знаменника 100 чи 10 (рядок 1 схеми). 75 сотих — це 0,75, тому $10\frac{3}{4}$ = 10,75. Так само 11,4 і 9,5.
- 2)Середня швидкість — це весь шлях, поділений на весь час. Шлях: 31,65 км.
- 3)31,65 : 3 = 10,55. Для десятих потрібні соті — вони вже є.
- 4)Після десятих стоїть 5. Збільшуємо: 10,6.
Відповідь: середня швидкість ≈ 10,6 км/год.
Приклад 10. Округли до тисячних і обчисли: 2,3(8) + 1,(45)
Додавати нескінченні дроби незручно. Тому кожен доданок спершу округлюємо, а потім додаємо.
| 1) | 2,3(8) = 2,3888… ≈ 2,389 |
| 2) | 1,(45) = 1,4545… ≈ 1,455 |
| 3) | 2,3(8) + 1,(45) ≈ 2,389 + 1,455 = 3,844 |
- 1)Розписуємо період: 2,3888… Після тисячних стоїть 8 — збільшуємо: 2,389.
- 2)Розписуємо: 1,4545… Після тисячних стоїть 5 — збільшуємо: 1,455.
- 3)Додаємо наближення стовпчиком, кома під комою: 3,844.
Між дробами з періодом і наближеною сумою ставимо «≈». Між двома скінченними дробами і їхньою сумою — «=».
Відповідь: 2,3(8) + 1,(45) ≈ 3,844.
Приклад 11. Три дроби з періодом: округли до сотих і обчисли
Обчисли: 3,(48) + 1,(6) − 2,(09).
| 1) | 3,(48) = 3,4848… ≈ 3,48 |
| 2) | 1,(6) = 1,666… ≈ 1,67 |
| 3) | 2,(09) = 2,0909… ≈ 2,09 |
| 4) | 3,48 + 1,67 − 2,09 = 5,15 − 2,09 = 3,06 |
- 1)3,4848…: після сотих стоїть 4 — залишаємо 3,48.
- 2)1,666…: після сотих стоїть 6 — збільшуємо, 1,67.
- 3)2,0909…: після сотих стоїть 0 — залишаємо 2,09.
- 4)Обчислюємо зліва направо: спершу додавання, потім віднімання.
Відповідь: 3,(48) + 1,(6) − 2,(09) ≈ 3,06.
Чому калькулятор показує 0,6666667
Поділи на калькуляторі 2 на 3. Нескінченний дріб на екран не влізе. Тому калькулятор теж показує наближення.
| 1) | $\frac{2}{3}$ = 0,66666666… |
| 2) | сьома цифра після коми — 6, восьма — теж 6 |
| 3) | $\frac{2}{3}$ ≈ 0,6666667 |
Уяви калькулятор, на екрані якого вміщується 0 і ще сім цифр після коми. Він округлює дріб до сьомої цифри після коми. Восьма цифра 6, тому сьома шістка стає сімкою.
Буває калькулятор, який просто відкидає зайві цифри. Тоді на екрані 0,6666666.
Так цифри відкидають без округлення, як у помилці 1. Тому 0,6666666 — не десяткове наближення за нашим правилом. А 0,6666667 — наближення, хоч і не точне значення:
0,6666667 · 3 = 2,0000001.
Як перевірити себе
- Порахуй цифри після коми. До десятих — одна, до сотих — дві, до тисячних — три. У прикладі 6 відповідь 35,71: дві цифри, отже, до сотих.
- Постав «≈». Наближення не дорівнює дробу точно, тому «=» тут помилка.
- Помнож на знаменник. Має вийти майже чисельник:
$\frac{5}{13}$ ≈ 0,38, а 0,38 · 13 = 4,94 — близько до 5. - Прикидка. $2\frac{5}{27}$ лежить між 2 і 3, тому наближення 2,19 підходить, а 21,9 — ні.
Де найчастіше помиляються
1. Відкинули цифри замість округлити
Завдання: знайти десяткове наближення дробу $\frac{7}{18}$ до сотих.
Неправильно
| 7 : 18 = 0,388… |
| відкинули 8 |
| $\frac{7}{18}$ ≈ 0,38 |
Правильно
| 7 : 18 = 0,388… |
| після сотих стоїть 8 |
| $\frac{7}{18}$ ≈ 0,39 |
Як помітити: перед відповіддю глянь на цифру, яку відкидаєш. Якщо вона 5 або більша, попередню цифру треба збільшити.
2. Округлили період, не розписавши його
Завдання: округлити 0,(58) до сотих.
Неправильно
| 0,(58) — прибрали дужки |
| 0,(58) ≈ 0,58 |
Правильно
| 0,(58) = 0,5858… |
| 0,(58) ≈ 0,59 |
Як помітити: дужки означають, що цифри 58 повторюються. Розпиши період — і побачиш, що після сотих знову стоїть 5.
3. Поставили «=» замість «≈»
Завдання: записати десяткове наближення дробу $\frac{5}{6}$ до сотих.
Неправильно
| 5 : 6 = 0,833… |
| $\frac{5}{6}$ = 0,83 |
Правильно
| 5 : 6 = 0,833… |
| $\frac{5}{6}$ ≈ 0,83 |
Як помітити: помнож на знаменник. 0,83 · 6 = 4,98 — це менше за 5. Отже, рівності немає, є лише наближення.
4. У рівнянні a : x = b поділили не те число
Завдання: розв’язати рівняння 9 : x = 40 і округлити корінь до сотих.
Неправильно
| x = 40 : 9 |
| x = 4,444… ≈ 4,44 |
Правильно
| x = 9 : 40 |
| x = 0,225 ≈ 0,23 |
Як помітити: підстав корінь у рівняння. 9 : 4,44 — це приблизно 2, а не 40. Невідомий дільник дорівнює діленому (9), поділеному на частку (40).
Спробуй сам
- Відомо, що $\frac{5}{6}$ = 0,8333… і $3\frac{5}{11}$ = 3,4545… Знайди десяткові наближення кожного числа до десятих, сотих і тисячних.
- Знайди десяткове наближення до сотих: 1) $\frac{3}{7}$; 2) $\frac{8}{17}$; 3) $2\frac{4}{9}$; 4) $5\frac{13}{99}$.
- Знайди десяткове наближення до десятих: 1) $\frac{5}{12}$; 2) $\frac{7}{13}$; 3) $4\frac{7}{15}$; 4) $2\frac{47}{48}$.
- Автомобіль проїхав 200 км за 3 год. Знайди його швидкість. Відповідь округли до сотих км/год.
- Розв’яжи рівняння й округли корінь до сотих: 1) 7x = 5; 2) 13 : x = 6; 3) 12x = 29.
- Площа прямокутника — 1000 м², одна з його сторін — 30 м. Знайди довжину другої сторони. Відповідь округли до сотих метра.
- Турист ішов 3 год. За першу годину він пройшов $4\frac{1}{2}$ км, за другу — $3\frac{3}{4}$ км, за третю — $3\frac{2}{5}$ км. Знайди середню швидкість. Відповідь округли до десятих км/год.
- Округли до сотих і обчисли: 1) 1,(27) + 2,(4) − 0,(63); 2) 5,1(6) − 2,(81).
Перевірити відповіді
- $\frac{5}{6}$ ≈ 0,8; 0,83; 0,833. $3\frac{5}{11}$ ≈ 3,5; 3,45; 3,455.
- 1) 0,428… ≈ 0,43; 2) 0,470… ≈ 0,47; 3) 2,444… ≈ 2,44; 4) 5,131… ≈ 5,13.
- 1) 0,41… ≈ 0,4; 2) 0,53… ≈ 0,5; 3) 4,46… ≈ 4,5; 4) 2,97… ≈ 3,0 (нуль у кінці не відкидаємо).
- 200 : 3 = 66,666… ≈ 66,67 км/год.
- 1) x = 5 : 7 = 0,714… ≈ 0,71; 2) x = 13 : 6 = 2,166… ≈ 2,17; 3) x = 29 : 12 = 2,416… ≈ 2,42.
- 1000 : 30 = 33,333… ≈ 33,33 м.
- Середня швидкість ≈ 3,9 км/год.
- 1) 1,(27) + 2,(4) − 0,(63) ≈ 3,07; 2) 5,1(6) − 2,(81) ≈ 2,35.
Повний розв’язок завдання 7
| 1) | $4\frac{1}{2}$ = 4,5; $3\frac{3}{4}$ = 3,75; $3\frac{2}{5}$ = 3,4 |
| 2) | 4,5 + 3,75 + 3,4 = 11,65 (км) |
| 3) | 11,65 : 3 = 3,883… ≈ 3,9 (км/год) |
Для десятих ділимо до сотих: 3,88. Після десятих стоїть 8, тому 3,8 збільшуємо до 3,9.
Повний розв’язок завдання 8.1
| 1) | 1,(27) = 1,2727… ≈ 1,27 |
| 2) | 2,(4) = 2,444… ≈ 2,44 |
| 3) | 0,(63) = 0,6363… ≈ 0,64 |
| 4) | 1,27 + 2,44 − 0,64 = 3,71 − 0,64 = 3,07 |
Пастка — у третьому дробі: після сотих стоїть 6, тому 0,63 збільшуємо до 0,64.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Попросіть дитину поділити на калькуляторі 2 на 7 і назвати наближення до десятих, сотих і тисячних. Правильно: 0,3; 0,29; 0,286.
Запитайте, чому 0,(58) до сотих — це 0,59, а не 0,58. Хороша відповідь: після 58 знову йде 5, тому останню цифру збільшуємо.