Ділення звичайних дробів: чому ділити на дріб — це множити на обернене число, 6 клас

Приклад 1. Обчисли $\frac{3}{8}:\frac{5}{7}$ і перевір відповідь множенням

Розв’язання.

Замінимо ділення множенням на дріб, обернений до дільника:

$\frac{3}{8}:\frac{5}{7}=\frac{3}{8}\cdot\frac{7}{5}=\frac{3\cdot7}{8\cdot5}=\frac{21}{40}$

1. 1)Дільником є дріб $\frac{5}{7}$. Оберненим до нього є дріб $\frac{7}{5}$.
2. 2)Множимо чисельники:
   3 · 7 = 21. Множимо знаменники:
   8 · 5 = 40.
3. 3)Числа 21 і 40 не мають спільного дільника, більшого за 1. Тому дріб $\frac{21}{40}$ скоротити не можна.

Перевірка. Помножимо частку $\frac{21}{40}$ на дільник $\frac{5}{7}$. Має вийти ділене $\frac{3}{8}$.

21 і 7 ділимо на 7, а 5 і 40 ділимо на 5. Залишається $\frac{3}{8}$, тобто ділене. Отже, частку знайдено правильно.

Відповідь: $\frac{21}{40}$.

Приклад 2. Обчисли $\frac{6}{7}:\frac{9}{14}$ зі скороченням

Розв’язання.

$\frac{6}{7}:\frac{9}{14}=\frac{6}{7}\cdot\frac{14}{9}$

1. 1)Перевертаємо дільник $\frac{9}{14}$, і виходить $\frac{14}{9}$. Ділене $\frac{6}{7}$ не змінюємо.
2. 2)Пишемо під однією рискою: у чисельнику 6 · 14, у знаменнику 7 · 9. Поки що ці числа не перемножуємо.
3. 3)Числа 6 і 9 ділимо на 3:
   6 : 3 = 2 і 9 : 3 = 3. Числа 14 і 7 ділимо на 7:
   14 : 7 = 2 і 7 : 7 = 1.
4. 4)Перемножуємо числа, що залишилися:
   2 · 2 = 4 і 1 · 3 = 3. Маємо $\frac{4}{3}$, а 4 : 3 = 1 (остача 1).

Відповідь: $1\frac{1}{3}$.

Приклад 3. Поділи дріб на натуральне число: $\frac{6}{11}:4$

Розв’язання.

Запишемо 4 дробом зі знаменником 1:
$4=\frac{4}{1}$. Оберненим до нього є дріб $\frac{1}{4}$.

$\frac{6}{11}:4=\frac{6}{11}:\frac{4}{1}=\frac{6}{11}\cdot\frac{1}{4}$

Числа 6 і 4 ділимо на 2:
6 : 2 = 3 і 4 : 2 = 2. Тоді в чисельнику 3 · 1 = 3, а в знаменнику 11 · 2 = 22.

Чисельник 6 не змінився, а знаменник помножився на 4. Тому ділити дріб на натуральне число можна й коротше: знаменник множать на це число. $\frac{6}{11}:4=\frac{6}{11\cdot4}=\frac{6}{44}=\frac{3}{22}$.

Відповідь: $\frac{3}{22}$.

Приклад 4. Поділи натуральне число на дріб: $8:\frac{6}{7}$

Розв’язання.

$8:\frac{6}{7}=\frac{8}{1}:\frac{6}{7}=\frac{8}{1}\cdot\frac{7}{6}$

1. 1)Записуємо 8 дробом $\frac{8}{1}$ і перевертаємо дільник:
   $\frac{6}{7}$ стає $\frac{7}{6}$.
2. 2)Числа 8 і 6 ділимо на 2:
   8 : 2 = 4 і 6 : 2 = 3.
3. 3)Множимо:
   4 · 7 = 28 і 1 · 3 = 3. Маємо $\frac{28}{3}$, а 28 : 3 = 9 (остача 1).

Частка більша за ділене 8. Так і має бути, бо дільник $\frac{6}{7}$ менший за 1. Частина, менша за одиницю, вміщується в числі 8 більше ніж 8 разів.

Відповідь: $9\frac{1}{3}$.

Приклад 5. Поділи мішані числа: $3\frac{1}{3}:2\frac{2}{9}$

Розв’язання.

Спершу записуємо обидва мішані числа неправильними дробами:

$3\frac{1}{3}:2\frac{2}{9}=\frac{10}{3}:\frac{20}{9}=\frac{10}{3}\cdot\frac{9}{20}$

1. 1)$3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$, бо 3 · 3 + 1 = 10. $2\frac{2}{9}=\frac{20}{9}$, бо 2 · 9 + 2 = 20.
2. 2)Перевертаємо дільник:
   $\frac{20}{9}$ стає $\frac{9}{20}$.
3. 3)Числа 10 і 20 ділимо на 10:
   10 : 10 = 1 і 20 : 10 = 2. Числа 9 і 3 ділимо на 3:
   9 : 3 = 3 і 3 : 3 = 1.
4. 4)Перемножуємо числа, що залишилися:
   1 · 3 = 3 і 1 · 2 = 2. Маємо $\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$.

Окремо ділити цілі частини й окремо дробові не можна. Тоді частка, помножена на дільник, не дасть ділене.

Відповідь: $1\frac{1}{2}$.

Приклад 6. Перетвори десятковий дріб у звичайний та обчисли $1{,}2:\frac{2}{5}$

Розв’язання.

Число 1,2 — це одна ціла дві десятих:
$1{,}2=1\frac{2}{10}=1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$.

$1{,}2:\frac{2}{5}=\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{2}=\frac{6\cdot5}{5\cdot2}=3$

П’ятірки в чисельнику і знаменнику скорочуються повністю, а 6 : 2 = 3.

Перевірка:
$3\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}=1{,}2$. Вийшло ділене.

Якщо десятковим дробом записано дільник, його так само спершу записують звичайним дробом. Наприклад, $0{,}3=\frac{3}{10}$, тому $\frac{3}{5}:0{,}3=\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{3}=2$.

Відповідь: 3.

Приклад 7. Знайди значення виразу $\left(3\frac{1}{2}-1\frac{5}{6}\right):1\frac{1}{9}$

Розв’язання.

Спершу виконуємо дію в дужках, а потім ділення.

1. 1)Зводимо дробові частини до знаменника 6:
   $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$. Дріб $\frac{3}{6}$ менший за $\frac{5}{6}$, тому позичаємо одиницю в цілої частини. Одиниця дорівнює $\frac{6}{6}$, а 6 + 3 = 9, тому $3\frac{3}{6}=2\frac{9}{6}$. Різницю $1\frac{4}{6}$ скорочуємо на 2 і отримуємо $1\frac{2}{3}$.
2. 2)Записуємо мішані числа неправильними дробами:
   $1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$ і $1\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$. Перевертаємо дільник, потім 5 і 10 ділимо на 5, а 9 і 3 ділимо на 3.

Відповідь: $1\frac{1}{2}$.

Приклад 8. Розв’яжи рівняння $\frac{4}{9}x=2\frac{2}{3}$

Розв’язання.

Тут $x$ є невідомим множником. Щоб знайти невідомий множник, добуток ділять на відомий множник.

Мішане число $2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$, бо 2 · 3 + 2 = 8. Скорочуємо 8 і 4 на 4, а 9 і 3 на 3. Залишається 2 · 3 = 6.

Перевірка:
$\frac{4}{9}\cdot6=\frac{4\cdot6}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$. Рівність правильна.

Відповідь: 6.

Приклад 9. Розв’яжи рівняння $\frac{3}{10}:x=\frac{2}{5}$

Розв’язання.

Тут $x$ є невідомим дільником. Щоб знайти невідомий дільник, ділене ділять на частку. Так виходить тому, що ділене дорівнює добутку дільника і частки.

Числа 5 і 10 ділимо на 5:
5 : 5 = 1 і 10 : 5 = 2. Тоді в знаменнику 2 · 2 = 4.

Перевірка:
$\frac{3}{10}:\frac{3}{4}=\frac{3}{10}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. Рівність правильна.

Відповідь: $\frac{3}{4}$.

Приклад 10. Розв’яжи рівняння $\frac{5}{6}y-\frac{1}{4}y=2\frac{1}{3}$

Розв’язання.

Обидва доданки ліворуч містять множник $y$. За розподільною властивістю множення $y$ можна записати один раз, а дроби відняти в дужках.

1. 1)У дужках зводимо дроби до знаменника 12:
   $\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$.
2. 2)Мішане число записуємо неправильним дробом:
   $2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$, бо 2 · 3 + 1 = 7.
3. 3)Невідомий множник $y$ знаходимо діленням. Сімки скорочуються повністю, а 12 : 3 = 4.

Перевірка:
$\frac{5}{6}\cdot4-\frac{1}{4}\cdot4=\frac{20}{6}-1$
$=3\frac{1}{3}-1=2\frac{1}{3}$. Рівність правильна.

Відповідь: 4.

Приклад 11. Розв’яжи рівняння $2\frac{1}{3}-\frac{3}{4}x=1\frac{5}{6}$

Розв’язання.

Вираз $\frac{3}{4}x$ тут є невідомим від’ємником. Щоб знайти невідомий від’ємник, від зменшуваного віднімають різницю.

1. 1)Віднімаємо мішані числа. Зводимо дробові частини до знаменника 6:
   $2\frac{1}{3}=2\frac{2}{6}$. Дріб $\frac{2}{6}$ менший за $\frac{5}{6}$, тому позичаємо одиницю, тобто $\frac{6}{6}$. Оскільки 6 + 2 = 8, маємо $2\frac{2}{6}=1\frac{8}{6}$. Тоді $1\frac{8}{6}-1\frac{5}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
2. 2)Тепер $x$ є невідомим множником, тому ділимо $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{4}$.

Перевірка. Підставимо $x=\frac{2}{3}$:
$\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

Тоді ліва частина рівняння дорівнює:
$2\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=1\frac{8}{6}-\frac{3}{6}=1\frac{5}{6}$. Тут знову позичили одиницю, бо $2\frac{1}{3}=2\frac{2}{6}=1\frac{8}{6}$. Рівність правильна.

Відповідь: $\frac{2}{3}$.

Приклад 12. Розв’яжи рівняння $\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{4}x\right):\frac{5}{6}=1\frac{1}{5}$

Розв’язання.

Вираз у дужках є невідомим діленим. Щоб знайти невідоме ділене, частку множать на дільник.

1. 1)Множимо частку на дільник. $1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$, а дроби $\frac{6}{5}$ і $\frac{5}{6}$ взаємно обернені. Тому їхній добуток дорівнює 1.
2. 2)Доданок $\frac{1}{4}x$ невідомий. Щоб його знайти, від суми віднімаємо відомий доданок:
   $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
3. 3)Тепер $x$ є невідомим множником, тому ділимо $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{4}$.

Перевірка:
$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$, а $1:\frac{5}{6}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$. Рівність правильна.

Відповідь: $1\frac{1}{3}$.

Приклад 13. Знайди швидкість пішохода

Пішохід пройшов $3\frac{3}{4}$ км за $\frac{5}{6}$ год. З якою швидкістю він ішов?

Розв’язання.

Швидкість дорівнює шляху, поділеному на час. $3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$, бо 3 · 4 + 3 = 15. Скорочуємо 15 і 5 на 5, а 6 і 4 на 2. Залишається $\frac{3\cdot3}{2\cdot1}=\frac{9}{2}$.

Так само розв’язують інші задачі, де відомо добуток і один множник. Наприклад, довжину прямокутника знаходять, коли площу ділять на ширину.

Відповідь: $4\frac{1}{2}$ км/год.

Приклад 14. Знайди довжину, яка в $1\frac{1}{5}$ раза менша

Мотузка має довжину 6 м, а шнур у $1\frac{1}{5}$ раза коротший за мотузку. Яка довжина шнура?

Розв’язання.

$6:1\frac{1}{5}=\frac{6}{1}:\frac{6}{5}=\frac{6}{1}\cdot\frac{5}{6}=5$ (м)

Слова «у $1\frac{1}{5}$ раза коротший» означають, що довжину мотузки ділять на $1\frac{1}{5}$. Так само «у 3 рази коротший» означає, що ділять на 3.

Шістки скорочуються повністю, і залишається 5. Відповідь менша за 6 м, і так має бути, бо шнур коротший за мотузку.

Відповідь: 5 м.

Приклад 15. Знайди меншу кількість, коли в умові сказано «у … раза більше»

У першому мішку 12 кг картоплі, і це в $1\frac{1}{5}$ раза більше, ніж у другому мішку. Скільки кілограмів картоплі в другому мішку?

Розв’язання.

Тут слово «більше», але відома саме більша кількість, а шукаємо меншу. Більша кількість дорівнює меншій, помноженій на $1\frac{1}{5}$. Тому меншу знаходимо діленням.

Скорочуємо 12 і 6 на 6:
2 · 5 = 10. Перевірка:
$10\cdot1\frac{1}{5}=10\cdot\frac{6}{5}=12$.

Отже, не поспішай множити, щойно бачиш слово «більше». Спершу з’ясуй, яка кількість відома.

Якщо відома менша, а шукаєш більшу, множ. Якщо відома більша, а шукаєш меншу, діли.

Відповідь: 10 кг.

Приклад 16. Дізнайся, у скільки разів одне число більше за інше

Оля прочитала $\frac{2}{3}$ книжки, а Тарас прочитав $\frac{4}{9}$ такої самої книжки. У скільки разів більшу частину книжки прочитала Оля?

Розв’язання.

Щоб дізнатися, у скільки разів одне число більше за інше, більше число ділять на менше. Більшим є дріб $\frac{2}{3}$, бо $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$, а дріб $\frac{6}{9}$ більший за $\frac{4}{9}$.

Числа 2 і 4 ділимо на 2, а 9 і 3 ділимо на 3. Залишається $\frac{1\cdot3}{1\cdot2}=\frac{3}{2}$.

Перевірка:
$\frac{4}{9}\cdot1\frac{1}{2}=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{2}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$. Вийшла частина книжки, яку прочитала Оля.

Відповідь: у $1\frac{1}{2}$ раза.

Приклад 17. Розв’яжи задачу на рух назустріч

Із двох міст, відстань між якими 156 км, одночасно назустріч один одному виїхали мотоцикліст і велосипедист. Швидкість мотоцикліста дорівнює 60 км/год, а швидкість велосипедиста в $3\frac{1}{3}$ раза менша. Через скільки годин вони зустрінуться?

Розв’язання.

1. 1)Слова «у $3\frac{1}{3}$ раза менша» означають, що 60 ділимо на $3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$. Перевертаємо дільник і скорочуємо 60 і 10 на 10:
   6 · 3 = 18. Це швидкість велосипедиста.
2. 2)Мотоцикліст і велосипедист їдуть назустріч, тому щогодини відстань між ними зменшується на суму їхніх швидкостей. Цю суму називають швидкістю зближення. Якби вони виїхали з одного міста в протилежних напрямках, відстань між ними щогодини так само зростала б на суму швидкостей.
3. 3)Час до зустрічі дорівнює відстані, поділеній на швидкість зближення.

Відповідь: через 2 год.

Приклад 18. Розв’яжи задачу на рух за течією і проти течії

Катер пройшов 30 км за течією річки за $1\frac{1}{4}$ год. Швидкість течії дорівнює 2 км/год. Скільки часу катер витратить на зворотний шлях проти течії?

Розв’язання.

1. 1)Швидкість за течією дорівнює шляху, поділеному на час. Скорочуємо 30 і 5 на 5:
   6 · 4 = 24.
2. 2)Власна швидкість катера — це його швидкість у стоячій воді. За течією річка підганяє катер, тому швидкість за течією на 2 км/год більша за власну. Отже, власна швидкість на 2 км/год менша за 24 км/год.
3. 3)Проти течії річка заважає катеру. Тому від власної швидкості віднімаємо швидкість течії.
4. 4)Час дорівнює шляху, поділеному на швидкість.

Відповідь: $1\frac{1}{2}$ год.

Приклад 19. Розв’яжи задачу на спільну роботу

Один насос може викачати воду з котловану за 20 год, а другий насос може викачати її за 30 год. За скільки годин насоси викачають воду, якщо працюватимуть разом?

Розв’язання.

Приймемо всю роботу за 1. Перший насос виконує її за 20 год, тому за одну годину він виконує $\frac{1}{20}$ роботи. Так само другий насос за одну годину виконує $\frac{1}{30}$ роботи.

1. 1)Зводимо дроби до спільного знаменника 60 і додаємо. Виходить частина роботи, яку обидва насоси разом виконують за одну годину.
2. 2)Ділимо всю роботу, тобто 1, на частину, виконану за годину. Так дізнаємося, скільки годин потрібно на всю роботу.

Перевірка:
$12\cdot\frac{1}{12}=1$, тобто за 12 год насоси виконають усю роботу. Відповідь менша за 20 год, бо разом насоси працюють швидше, ніж кожен окремо.

Відповідь: за 12 год.

Приклад 20. Знайди дві кількості за їхньою сумою

У двох кошиках разом 63 горіхи. У першому кошику в $1\frac{1}{4}$ раза більше горіхів, ніж у другому. Скільки горіхів у кожному кошику?

Розв’язання.

Нехай у другому кошику $x$ горіхів. Слова «у $1\frac{1}{4}$ раза більше» означають, що кількість множать на $1\frac{1}{4}$. Тому в першому кошику $1\frac{1}{4}x$ горіхів.

1. 1)Ліворуч обидва доданки містять $x$. За розподільною властивістю $x$ записуємо один раз, а числа біля нього додаємо. Перед першим $x$ стоїть число 1, бо $x=1\cdot x$. Тому $1+1\frac{1}{4}=2\frac{1}{4}$.
2. 2)$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$, а оберненим до нього є дріб $\frac{4}{9}$. Скорочуємо 63 і 9 на 9:
   7 · 4 = 28. Стільки горіхів у другому кошику.
3. 3)У першому кошику $\frac{5}{4}\cdot28$ горіхів. Скорочуємо 28 і 4 на 4:
   5 · 7 = 35.

Перевірка:
35 + 28 = 63, і $35:28=\frac{35}{28}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$. Обидві умови виконано.

Буває, що замість суми відома різниця: наприклад, у першому кошику на 7 горіхів більше. Тоді рівняння складають так само, лише віднімають:
$1\frac{1}{4}x-x=7$, тобто $\frac{1}{4}x=7$, і $x=7:\frac{1}{4}=28$.

Відповідь: 35 горіхів і 28 горіхів.