Ти навчишся множити звичайні дроби, дріб на натуральне число й мішані числа. Покажемо, як скорочувати ще до множення, щоб рахувати з маленькими числами.
Уже розв’язав вправи, а відповідь вийшла меншою, ніж у ГДЗ? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Правило множення дробів
Щоб помножити два звичайні дроби, множать окремо чисельники і окремо знаменники.
Правило. Добуток двох дробів — це дріб. Його чисельник дорівнює добутку чисельників, а знаменник дорівнює добутку знаменників:
$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$
Правило діє для будь-якої кількості множників: три дроби множать так само, як два.
Наприклад, $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2\cdot3}{3\cdot4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Чому так, видно на малюнку нижче.
Чому правило саме таке
Візьмемо квадрат зі стороною 1. Його площа дорівнює 1 · 1 = 1.
Поділимо одну сторону на 3 рівні частини, а другу — на 4 рівні частини. Квадрат розпадеться на 3 · 4 = 12 однакових клітинок.
Зелений прямокутник має сторони $\frac{2}{3}$ і $\frac{3}{4}$. У ньому 2 · 3 = 6 клітинок із 12.
Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}$. Зелений прямокутник займає 6 клітинок із 12, тобто $\frac{6}{12}$ квадрата.
Число 6 вийшло як 2 · 3: два стовпці по три клітинки. Це добуток чисельників.
Число 12 вийшло як 3 · 4: стільки клітинок у всьому квадраті. Це добуток знаменників.
Скоротимо дріб: $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. На малюнку це теж видно: зелена частина займає рівно половину квадрата.
Алгоритм
Як помножити дроби
- Якщо серед множників є мішане число, запиши його неправильним дробом. Тоді множення зводиться до правила для звичайних дробів. Не множ окремо цілі частини й окремо дробові: тоді загубляться добутки цілої частини одного числа на дробову частину другого, і відповідь вийде замалою.
- Якщо серед множників є натуральне число, запиши його дробом зі знаменником 1. Можна й одразу помножити його на чисельник, бо знаменник 1 нічого не змінює.
- Запиши добуток одним дробом під однією рискою. У чисельнику постав добуток чисельників, а в знаменнику постав добуток знаменників. Самі добутки поки не обчислюй.
- Скороти, якщо можна. Знайди число в чисельнику і число в знаменнику, які мають спільний дільник. Поділи обидва на нього, закресли їх і запиши частки маленькими цифрами поруч із закресленими числами.
- Перемнож числа, що залишилися. Якщо вийшов неправильний дріб, виділи з нього цілу частину.
Скорочувати краще до множення: так числа менші, і рахувати легше.
Розв’язані приклади
Приклад 1. Обчисли $\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{9}$
Розв’язання.
$\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{9}=\frac{4\cdot2}{5\cdot9}=\frac{8}{45}$
- 1)Множимо чисельники:
4 · 2 = 8. - 2)Множимо знаменники:
5 · 9 = 45. - 3)Числа 8 і 45 не мають спільного дільника, більшого за 1. Отже, дріб $\frac{8}{45}$ скоротити не можна.
Відповідь: $\frac{8}{45}$.
Приклад 2. Обчисли $\frac{9}{14}\cdot\frac{7}{12}$, скоротивши до множення
Розв’язання.
Записуємо добуток під однією рискою і скорочуємо, як у зошиті:
| 9 | · | 7 | = | 9 | 3 | · | 7 | 1 | = | 3 |
| 14 | 12 | 14 | 2 | · | 12 | 4 | 8 |
- 1)Пишемо під однією рискою: у чисельнику 9 · 7, у знаменнику 14 · 12. Множити поки не поспішаємо.
- 2)Числа 9 і 12 діляться на 3. Закреслюємо їх і праворуч пишемо частки:
9 : 3 = 3 і 12 : 3 = 4. - 3)Числа 7 і 14 діляться на 7. Закреслюємо їх і пишемо частки:
7 : 7 = 1 і 14 : 7 = 2. - 4)Множимо частки:
у чисельнику 3 · 1 = 3, у знаменнику 2 · 4 = 8.
Без скорочення вийшло б $\frac{63}{168}$. Такий дріб теж скорочується до $\frac{3}{8}$, але шукати спільний дільник великих чисел важче.
Відповідь: $\frac{3}{8}$.
Приклад 3. Помнож дріб на натуральне число: 1) $5\cdot\frac{3}{8}$; 2) $10\cdot\frac{7}{15}$
Розв’язання.
1) Покажемо обидва записи, які дозволяє підручник.
| $5\cdot\frac{3}{8}=\frac{5}{1}\cdot\frac{3}{8}=\frac{5\cdot3}{1\cdot8}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$ |
| або $5\cdot\frac{3}{8}=\frac{5\cdot3}{8}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$ |
Знаменник 1 нічого не змінює:
1 · 8 = 8. Тому натуральне число можна одразу множити на чисельник. Знаменник залишається тим самим.
Дріб $\frac{15}{8}$ неправильний, тому виділяємо цілу частину. 15 : 8 = 1 (остача 7), отже, $\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$.
2) Числа 10 і 15 мають спільний дільник 5. Тому скорочуємо до множення:
| 10 · | 7 | = | 10 | 2 | · | 7 | = | 14 |
| 15 | 15 | 3 | 3 |
10 : 5 = 2 і 15 : 5 = 3. Далі 2 · 7 = 14, і виходить $\frac{14}{3}$. 14 : 3 = 4 (остача 2), тому $\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}$.
Відповідь: 1) $1\frac{7}{8}$; 2) $4\frac{2}{3}$.
Приклад 4. Обчисли добуток мішаних чисел $3\frac{1}{3}\cdot2\frac{1}{4}$
Розв’язання.
Спершу записуємо мішані числа неправильними дробами:
$3\frac{1}{3}\cdot2\frac{1}{4}=\frac{10}{3}\cdot\frac{9}{4}$
| = | 10 | 5 | · | 9 | 3 | = | 15 | = | 7 | 1 |
| 3 | 1 | · | 4 | 2 | 2 | 2 |
- 1)$3\frac{1}{3}$:
3 · 3 + 1 = 10, отже, це $\frac{10}{3}$. $2\frac{1}{4}$:
2 · 4 + 1 = 9, отже, це $\frac{9}{4}$. - 2)Під однією рискою: у чисельнику 10 · 9, у знаменнику 3 · 4.
- 3)10 і 4 ділимо на 2: виходить 5 і 2. 9 і 3 ділимо на 3: виходить 3 і 1.
- 4)Множимо:
5 · 3 = 15 і 1 · 2 = 2. Маємо $\frac{15}{2}$, а 15 : 2 = 7 (остача 1).
Перевіримо прикидкою. $3\frac{1}{3}$ більше за 3, а $2\frac{1}{4}$ більше за 2. Тому добуток більший за 3 · 2 = 6, і $7\frac{1}{2}$ підходить.
Відповідь: $7\frac{1}{2}$.
Приклад 5. Обчисли добуток трьох множників $1\frac{1}{5}\cdot2\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{6}$
Розв’язання.
Три множники множимо за тим самим правилом. Спершу переводимо мішані числа в неправильні дроби:
$1\frac{1}{5}\cdot2\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{5}{6}$
| = | 6 | 1 | · | 5 | 1 | · | 5 | = | 5 | = | 2 | 1 |
| 5 | 1 | · | 2 | · | 6 | 1 | 2 | 2 |
- 1)$1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$, бо 1 · 5 + 1 = 6. $2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$, бо 2 · 2 + 1 = 5.
- 2)У чисельнику 6 · 5 · 5, у знаменнику 5 · 2 · 6.
- 3)Шістка є і вгорі, і внизу:
6 : 6 = 1. П’ятірка теж є вгорі й унизу:
5 : 5 = 1. - 4)Залишилося $\frac{5}{2}$, а це $2\frac{1}{2}$.
Однакові числа в чисельнику й знаменнику скорочуються повністю: на їхньому місці лишаються одиниці.
Відповідь: $2\frac{1}{2}$.
Приклад 6. Обчисли квадрат і куб: 1) $\left(\frac{3}{5}\right)^2$; 2) $\left(1\frac{1}{3}\right)^3$
Розв’язання.
Квадрат числа — це добуток двох однакових множників, а куб — добуток трьох однакових множників.
| 1) | $\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3\cdot3}{5\cdot5}=\frac{9}{25}$ |
| 2) | $\left(1\frac{1}{3}\right)^3=\left(\frac{4}{3}\right)^3=\frac{4\cdot4\cdot4}{3\cdot3\cdot3}$ |
| $=\frac{64}{27}=2\frac{10}{27}$ |
- 1)У квадрат підносимо і чисельник, і знаменник:
3 · 3 = 9 і 5 · 5 = 25. - 2)Мішане число $1\frac{1}{3}$ спершу записуємо дробом $\frac{4}{3}$. Потім множимо три четвірки і три трійки: 64 і 27. 64 : 27 = 2 (остача 10).
Відповідь: 1) $\frac{9}{25}$; 2) $2\frac{10}{27}$.
Приклад 7. Перетвори десятковий дріб у звичайний та обчисли: 1) $0{,}6\cdot\frac{5}{9}$; 2) $1{,}25\cdot2\frac{2}{5}$
Розв’язання.
1) 0,6 — це шість десятих:
$0{,}6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
$0{,}6\cdot\frac{5}{9}=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{9}=\frac{3\cdot5}{5\cdot9}=\frac{1}{3}$
Тут 5 і 5 скорочуються повністю, а 3 і 9 ділимо на 3. Залишається $\frac{1}{3}$.
2) 1,25 — це одна ціла двадцять п’ять сотих:
$1{,}25=1\frac{25}{100}=1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$ (25 і 100 скоротили на 25). А $2\frac{2}{5}=\frac{12}{5}$, бо 2 · 5 + 2 = 12.
| 5 | · | 12 | = | 5 | 1 | · | 12 | 3 | = 3 |
| 4 | 5 | 4 | 1 | · | 5 | 1 |
5 і 5 скорочуються повністю, 12 і 4 ділимо на 4. Залишається 3 · 1 = 3 у чисельнику і 1 · 1 = 1 у знаменнику.
Відповідь: 1) $\frac{1}{3}$; 2) 3.
Властивості множення для дробів
Для дробів діють ті самі властивості множення, що й для натуральних чисел. Вони допомагають рахувати швидше.
Перед буквою і перед дужками знак множення можна не писати. Тому у формулах нижче ab означає a · b. Замість 7 · a пишуть 7a, а замість 4 · (a + 2) пишуть 4(a + 2). Якщо буква множиться на дріб, її пишуть після дробу на рівні риски: $\frac{1}{8}x$.
| Переставна | $ab=ba$ |
| Сполучна | $(ab)c=a(bc)$ |
| Розподільна | $(a+b)c=ac+bc$ $(a-b)c=ac-bc$ |
| Окремі випадки | $a\cdot0=0\cdot a=0$ $a\cdot1=1\cdot a=a$ |
Приклад 8. Обчисли зручним способом $\frac{4}{7}\cdot2\frac{5}{6}\cdot1\frac{3}{4}$
Розв’язання.
Помітимо, що $1\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$. Це дріб $\frac{4}{7}$, у якого чисельник і знаменник помінялися місцями. Їхній добуток легко обчислити, тому поставимо їх поруч.
| $\frac{4}{7}\cdot2\frac{5}{6}\cdot1\frac{3}{4}=\left(\frac{4}{7}\cdot\frac{7}{4}\right)\cdot2\frac{5}{6}$ |
| $=1\cdot2\frac{5}{6}=2\frac{5}{6}$ |
- 1)За переставною і сполучною властивостями ставимо поруч $\frac{4}{7}$ і $1\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$.
- 2)$\frac{4}{7}\cdot\frac{7}{4}=\frac{4\cdot7}{7\cdot4}=1$, бо чисельник і знаменник однакові.
- 3)За окремим випадком множення $1\cdot a=a$ відповідь дорівнює $2\frac{5}{6}$.
Якби ми множили по порядку, довелося б рахувати з дробом $2\frac{5}{6}=\frac{17}{6}$ і великими числами.
Відповідь: $2\frac{5}{6}$.
Приклад 9. Помнож мішане число на натуральне за розподільною властивістю: $7\frac{1}{6}\cdot3$
Розв’язання.
Мішане число — це сума цілої і дробової частин:
$7\frac{1}{6}=7+\frac{1}{6}$. Множимо на 3 кожен доданок.
| $7\frac{1}{6}\cdot3=\left(7+\frac{1}{6}\right)\cdot3=7\cdot3+\frac{1}{6}\cdot3$ |
| $=21+\frac{1}{2}=21\frac{1}{2}$ |
- 1)Цілу частину множимо на 3:
7 · 3 = 21. - 2)Дробову частину множимо на 3:
$\frac{1\cdot3}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. - 3)Додаємо:
$21+\frac{1}{2}=21\frac{1}{2}$.
Перевіримо через неправильний дріб:
$\frac{43}{6}\cdot3=\frac{43\cdot3}{6}=\frac{43}{2}=21\frac{1}{2}$. Відповідь та сама, але числа більші.
Відповідь: $21\frac{1}{2}$.
Приклад 10. Обчисли, використовуючи розподільну властивість: 1) $12\cdot\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{6}\right)$; 2) $2\frac{1}{3}\cdot3\frac{4}{7}+1\frac{2}{3}\cdot3\frac{4}{7}$
Розв’язання.
1) Множимо 12 на кожен дріб у дужках. Так не доведеться зводити дроби до спільного знаменника.
| $12\cdot\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{6}\right)=12\cdot\frac{3}{4}-12\cdot\frac{1}{6}$ |
| = 9 − 2 = 7 |
Тут $12\cdot\frac{3}{4}=\frac{12\cdot3}{4}=9$, бо 12 : 4 = 3, а 3 · 3 = 9. І $12\cdot\frac{1}{6}=2$, бо 12 : 6 = 2.
2) В обох добутках є однаковий множник $3\frac{4}{7}$. Розподільна властивість дозволяє записати його один раз, а перші множники додати.
| $2\frac{1}{3}\cdot3\frac{4}{7}+1\frac{2}{3}\cdot3\frac{4}{7}=\left(2\frac{1}{3}+1\frac{2}{3}\right)\cdot3\frac{4}{7}$ |
| $=4\cdot3\frac{4}{7}=4\cdot3+4\cdot\frac{4}{7}=12+\frac{16}{7}$ |
| $=12+2\frac{2}{7}=14\frac{2}{7}$ |
- 1)Додаємо в дужках:
$2\frac{1}{3}+1\frac{2}{3}=3\frac{3}{3}=4$. - 2)Множимо 4 на $3\frac{4}{7}$ за розподільною властивістю:
4 · 3 = 12 і $4\cdot\frac{4}{7}=\frac{16}{7}=2\frac{2}{7}$. - 3)Додаємо:
$12+2\frac{2}{7}=14\frac{2}{7}$. - 4)З різницею роблять так само:
$ac-bc=(a-b)c$. Спільний множник пишуть один раз, а перші множники віднімають.
Відповідь: 1) 7; 2) $14\frac{2}{7}$.
Приклад 11. Спрости вираз $2\frac{1}{4}a\cdot\frac{8}{15}$ і знайди його значення для $a=\frac{5}{6}$
Розв’язання.
За переставною і сполучною властивостями спершу перемножимо числа, а букву $a$ допишемо після них.
| $2\frac{1}{4}a\cdot\frac{8}{15}=\left(\frac{9}{4}\cdot\frac{8}{15}\right)a=\frac{9\cdot8}{4\cdot15}a$ |
| $=\frac{6}{5}a=1\frac{1}{5}a$ |
- 1)$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$, бо 2 · 4 + 1 = 9.
- 2)9 і 15 ділимо на 3: виходить 3 і 5. 8 і 4 ділимо на 4: виходить 2 і 1. Отже, 3 · 2 = 6 у чисельнику і 1 · 5 = 5 у знаменнику.
- 3)Підставляємо $a=\frac{5}{6}$:
$\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{6}=\frac{6\cdot5}{5\cdot6}=1$.
Значення простіше шукати після спрощення: замість трьох множників маємо лише два.
Відповідь: $1\frac{1}{5}a$; для $a=\frac{5}{6}$ значення дорівнює 1.
Приклад 12. 1) Розкрий дужки: $6\left(\frac{2}{3}+\frac{5}{6}b\right)$. 2) Спрости вираз $2\frac{1}{2}y+1\frac{3}{4}y-\frac{3}{4}y$ і знайди його значення для $y=4$
Розв’язання.
1) За розподільною властивістю множимо 6 на кожен доданок у дужках.
$6\left(\frac{2}{3}+\frac{5}{6}b\right)=6\cdot\frac{2}{3}+6\cdot\frac{5}{6}b=4+5b$
Тут $6\cdot\frac{2}{3}=\frac{6\cdot2}{3}=4$, бо 6 : 3 = 2. А $6\cdot\frac{5}{6}=5$, бо 6 і 6 скорочуються повністю.
2) У всіх трьох доданках є множник $y$. Розподільна властивість дозволяє записати його один раз, а числа обчислити в дужках.
| $2\frac{1}{2}y+1\frac{3}{4}y-\frac{3}{4}y=\left(2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\right)y$ |
| $=3\frac{1}{2}y$ |
| Для $y=4$: $3\frac{1}{2}\cdot4=\frac{7}{2}\cdot4=\frac{7\cdot4}{2}=14$ |
У дужках $1\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=1$, тому залишається $2\frac{1}{2}+1=3\frac{1}{2}$.
Відповідь: 1) $4+5b$; 2) $3\frac{1}{2}y$, значення 14.
Приклад 13. Розв’яжи рівняння $\left(\frac{2}{5}x+1\frac{1}{3}\right)\cdot15=26$
Розв’язання.
Ділити дроби ми ще не вміємо. Тому розкриємо дужки за розподільною властивістю: помножимо 15 на кожен доданок.
| $\frac{2}{5}x\cdot15+1\frac{1}{3}\cdot15=26$ |
| $6x+20=26$ |
| $6x=26-20$ |
| $6x=6$ |
| $x=6:6$ |
| $x=1$ |
- 1)$\frac{2}{5}\cdot15=\frac{2\cdot15}{5}=6$, бо 15 : 5 = 3, а 2 · 3 = 6.
- 2)$1\frac{1}{3}\cdot15=\frac{4}{3}\cdot15=\frac{4\cdot15}{3}=20$, бо 15 : 3 = 5, а 4 · 5 = 20.
- 3)У рівнянні 6x + 20 = 26 невідомий доданок 6x дорівнює 26 − 20 = 6.
- 4)Невідомий множник:
x = 6 : 6 = 1.
Перевірка: підставимо x = 1:
$\left(\frac{2}{5}\cdot1+1\frac{1}{3}\right)\cdot15=6+20=26$. Рівність правильна.
Відповідь: 1.
Приклад 14. Порівняй, не виконуючи множення: 1) $\frac{5}{6}$ і $\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{7}$; 2) $\frac{5}{6}$ і $\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{8}$; 3) $\frac{3}{7}\cdot\frac{5}{11}$ і $\frac{3}{11}\cdot\frac{5}{7}$
Розв’язання.
Будемо міркувати так. Якщо число помножити на 1, воно не зміниться. Множник, менший за 1, зменшує число, а множник, більший за 1, збільшує його.
| 1) | $\frac{5}{6}\gt\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{7}$ |
| 2) | $\frac{5}{6}\lt\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{8}$ |
| 3) | $\frac{3}{7}\cdot\frac{5}{11}=\frac{3}{11}\cdot\frac{5}{7}$ |
- 1)Дріб $\frac{4}{7}$ правильний, тобто менший за 1. Отже, $\frac{5}{6}$ після множення на нього зменшиться.
- 2)Дріб $\frac{9}{8}$ неправильний і більший за 1. Отже, $\frac{5}{6}$ після множення на нього збільшиться.
- 3)За правилом обидва добутки дорівнюють $\frac{3\cdot5}{7\cdot11}$ і $\frac{3\cdot5}{11\cdot7}$. Чисельники однакові, а знаменники відрізняються лише порядком множників. Тому добутки рівні.
Відповідь: 1) перший вираз більший; 2) другий вираз більший; 3) вирази рівні.
Задачі
У задачах множення дробів трапляється там, де ти вже множив натуральні числа. Площа прямокутника дорівнює добутку довжини на ширину. Шлях дорівнює швидкості, помноженій на час. Вартість дорівнює ціні, помноженій на кількість.
Приклад 15. Знайди периметр і площу: 1) прямокутника зі сторонами $2\frac{1}{2}$ м і $1\frac{3}{5}$ м; 2) квадрата зі стороною $\frac{3}{4}$ дм
Розв’язання.
| 1) | $S=2\frac{1}{2}\cdot1\frac{3}{5}=\frac{5}{2}\cdot\frac{8}{5}=\frac{5\cdot8}{2\cdot5}=4$ (м²) |
| $2\frac{1}{2}+1\frac{3}{5}=2\frac{5}{10}+1\frac{6}{10}=4\frac{1}{10}$ (м) | |
| $P=2\cdot4\frac{1}{10}=8\frac{2}{10}=8\frac{1}{5}$ (м) | |
| 2) | $P=4\cdot\frac{3}{4}=3$ (дм) |
| $S=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$ (дм²) |
- 1)Площа прямокутника дорівнює добутку сторін. У $\frac{5\cdot8}{2\cdot5}$ п’ятірки скорочуються, а 8 : 2 = 4.
- 2)Периметр прямокутника дорівнює подвоєній сумі сторін, тобто 2 · (a + b). Дробові частини зводимо до знаменника 10:
$\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$, $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$. Сума $3\frac{11}{10}$ дорівнює $4\frac{1}{10}$. - 3)Множимо $4\frac{1}{10}$ на 2 за розподільною властивістю:
4 · 2 = 8 і $\frac{1}{10}\cdot2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$. - 4)У квадрата чотири рівні сторони, тому P = 4a, а S = a · a.
Відповідь: 1) $P=8\frac{1}{5}$ м, $S=4$ м²; 2) $P=3$ дм, $S=\frac{9}{16}$ дм².
Приклад 16. Розв’яжи задачу на рух за частину години
Потяг їде зі швидкістю 72 км/год. Яку відстань він проїде за $\frac{5}{6}$ год?
Розв’язання.
$72\cdot\frac{5}{6}=\frac{72\cdot5}{6}=60$ (км)
Шлях дорівнює швидкості, помноженій на час. Скорочуємо 72 і 6 на 6:
72 : 6 = 12, а 12 · 5 = 60.
Відповідь: 60 км.
Приклад 17. Розв’яжи задачу на рух у протилежних напрямках
З одного міста одночасно в протилежних напрямках виїхали два автобуси. Швидкість першого — $62\frac{1}{2}$ км/год, другого — $47\frac{3}{4}$ км/год. Яка відстань буде між ними через $2\frac{2}{3}$ год?
Розв’язання.
| 1) | $62\frac{1}{2}+47\frac{3}{4}=110\frac{1}{4}$ (км/год) |
| 2) | $110\frac{1}{4}\cdot2\frac{2}{3}=\frac{441}{4}\cdot\frac{8}{3}$ |
| $=\frac{441\cdot8}{4\cdot3}=294$ (км) |
- 1)Автобуси їдуть у протилежних напрямках, тому відстань між ними щогодини зростає на суму їхніх швидкостей. Додаємо швидкості:
$62\frac{2}{4}+47\frac{3}{4}=109\frac{5}{4}=110\frac{1}{4}$. - 2)Суму множимо на час. $110\frac{1}{4}=\frac{441}{4}$, бо 110 · 4 + 1 = 441, а $2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$. Скорочуємо:
441 : 3 = 147 і 8 : 4 = 2, а 147 · 2 = 294.
Відповідь: 294 км.
Приклад 18. Розв’яжи задачу на рух в одному напрямку
З однієї пристані одночасно в одному напрямку вирушили два човни. Швидкість першого — $32\frac{1}{2}$ км/год, другого — $24\frac{3}{4}$ км/год. Яка відстань буде між ними через $2\frac{2}{5}$ год?
Розв’язання.
| 1) | $32\frac{1}{2}-24\frac{3}{4}=7\frac{3}{4}$ (км/год) |
| 2) | $7\frac{3}{4}\cdot2\frac{2}{5}=\frac{31}{4}\cdot\frac{12}{5}$ |
| $=\frac{31\cdot12}{4\cdot5}=\frac{93}{5}=18\frac{3}{5}$ (км) |
- 1)Човни пливуть в одному напрямку, тому перший щогодини віддаляється від другого на різницю швидкостей. Щоб відняти, «позичаємо» одиницю:
$32\frac{2}{4}-24\frac{3}{4}=31\frac{6}{4}-24\frac{3}{4}=7\frac{3}{4}$. - 2)Різницю множимо на час. $7\frac{3}{4}=\frac{31}{4}$, бо 7 · 4 + 3 = 31, а $2\frac{2}{5}=\frac{12}{5}$. Скорочуємо 12 і 4 на 4, а 31 · 3 = 93.
Відповідь: $18\frac{3}{5}$ км.
Приклад 19. Розв’яжи задачу про покупку
Тато купив $\frac{3}{4}$ кг сиру за ціною 280 грн за кілограм і $2\frac{1}{2}$ кг яблук за ціною 36 грн за кілограм. За що він заплатив більше і на скільки?
Розв’язання.
| 1) | $280\cdot\frac{3}{4}=\frac{280\cdot3}{4}=210$ (грн) — за сир |
| 2) | $36\cdot2\frac{1}{2}=36\cdot2+36\cdot\frac{1}{2}$ |
| = 72 + 18 = 90 (грн) — за яблука | |
| 3) | 210 − 90 = 120 (грн) |
- 1)Вартість дорівнює ціні, помноженій на масу. За сир:
280 : 4 = 70, а 70 · 3 = 210. - 2)За яблука множимо за розподільною властивістю:
36 · 2 = 72 і $36\cdot\frac{1}{2}=\frac{36}{2}=18$. - 3)Порівнюємо: 210 більше за 90 на 120.
Відповідь: за сир тато заплатив більше на 120 грн.
Як перевірити себе
- Зроби прикидку. Добуток мішаних чисел більший за добуток їхніх цілих частин, бо кожен множник більший за свою цілу частину. А ще кожен множник менший за свою цілу частину, збільшену на 1. Тому добуток менший за добуток цілих частин, кожну з яких збільшили на 1. Наприклад, добуток $3\frac{1}{3}\cdot2\frac{1}{4}$ має лежати між 3 · 2 = 6 і 4 · 3 = 12.
- Подивись на множник, менший за 1. Якщо число помножити на правильний дріб, добуток вийде меншим за це число. Правильний дріб менший за 1, тому від числа лишається тільки частина. Наприклад, $72\cdot\frac{5}{6}=60$, а 60 менше за 72.
- Перевір, чи можна ще скоротити. Подивись на чисельник і знаменник відповіді. Якщо вони мають спільний дільник, більший за 1, то під час скорочення ти пропустив якусь пару чисел.
- Порахуй без скорочення. Перемнож чисельники і знаменники повністю, а потім скороти результат. Відповідь має вийти та сама, що й зі скороченням до множення.
Де найчастіше помиляються
1. Помножили мішані числа частинами
Завдання: обчислити $2\frac{1}{2}\cdot3\frac{1}{3}$.
Неправильно
| 2 · 3 = 6 |
| $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ |
| $2\frac{1}{2}\cdot3\frac{1}{3}=6\frac{1}{6}$ |
Правильно
| $2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$; $3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$ |
| $\frac{5}{2}\cdot\frac{10}{3}=\frac{5\cdot10}{2\cdot3}=\frac{5\cdot5}{1\cdot3}=\frac{25}{3}$ |
| 25 : 3 = 8 (остача 1) |
| $2\frac{1}{2}\cdot3\frac{1}{3}$ = $8\frac{1}{3}$ |
Як помітити: зроби прикидку. Обидва множники більші за свої цілі частини, тому добуток має бути помітно більшим за 2 · 3 = 6. Навіть $2\cdot3\frac{1}{3}=6+\frac{2}{3}=6\frac{2}{3}$, а $2\frac{1}{2}$ більше за 2. Тому відповідь $6\frac{1}{6}$ замала.
2. Помножили натуральне число і на чисельник, і на знаменник
Завдання: обчислити $4\cdot\frac{2}{9}$.
Неправильно
| $4\cdot\frac{2}{9}=\frac{4\cdot2}{4\cdot9}=\frac{8}{36}$ |
| $=\frac{2}{9}$ |
Правильно
| $4\cdot\frac{2}{9}=\frac{4}{1}\cdot\frac{2}{9}=\frac{4\cdot2}{1\cdot9}$ |
| = $\frac{8}{9}$ |
Як помітити: у неправильному записі дріб не змінився, бо $\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$. Множення на 4 мало збільшити дріб, тож така відповідь точно хибна. Запиши 4 як $\frac{4}{1}$, і буде видно, що знаменник множиться лише на 1.
3. Скоротили чисельник із чисельником
Завдання: обчислити $\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{7}$.
Неправильно
| 4 і 2 поділили на 2 |
| $\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{7}=\frac{2\cdot1}{9\cdot7}=\frac{2}{63}$ |
Правильно
| Спільного дільника в чисел угорі й унизу немає |
| $\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{7}=\frac{4\cdot2}{9\cdot7}$ = $\frac{8}{63}$ |
Як помітити: скорочують завжди пару «одне число вгорі й одне число внизу». Якщо поділити на 2 два числа вгорі, чисельник зменшиться в 4 рази, а знаменник не зміниться. Тоді дріб стане іншим.
4. Піднесли мішане число до квадрата частинами
Завдання: обчислити $\left(1\frac{1}{2}\right)^2$.
Неправильно
| 1 · 1 = 1; $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ |
| $\left(1\frac{1}{2}\right)^2=1\frac{1}{4}$ |
Правильно
| $\left(1\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{3\cdot3}{2\cdot2}=\frac{9}{4}$ |
| = $2\frac{1}{4}$ |
Як помітити: квадрат — це множення числа на себе, тому мішане число теж спершу записують неправильним дробом. Число $1\frac{1}{2}$ більше за 1, і його квадрат має бути більшим за $1\frac{1}{2}$. Відповідь $1\frac{1}{4}$ менша, тож вона хибна.
Спробуй сам
- Обчисли: 1) $\frac{2}{7}\cdot\frac{3}{5}$; 2) $\frac{5}{12}\cdot\frac{8}{15}$; 3) $7\cdot\frac{4}{21}$; 4) $\frac{3}{10}\cdot25$.
- Обчисли: 1) $2\frac{2}{3}\cdot1\frac{7}{8}$; 2) $1\frac{1}{2}\cdot2\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{10}$.
- Обчисли: 1) $\left(\frac{5}{6}\right)^2$; 2) $\left(2\frac{1}{2}\right)^3$.
- Перетвори десятковий дріб у звичайний та обчисли: $0{,}8\cdot3\frac{3}{4}$.
- Обчисли зручним способом: 1) $\frac{3}{5}\cdot13\cdot\frac{5}{3}$; 2) $9\frac{1}{4}\cdot4$.
- Обчисли за розподільною властивістю: 1) $18\cdot\left(\frac{5}{6}-\frac{2}{9}\right)$. 2) $3\frac{2}{5}\cdot1\frac{5}{7}+1\frac{3}{5}\cdot1\frac{5}{7}$.
- Спрости вираз $1\frac{3}{5}m\cdot\frac{5}{12}$ і знайди його значення для m = 9.
- Розкрий дужки: $10\left(\frac{3}{5}+\frac{7}{10}c\right)$.
- Розв’яжи рівняння $\left(\frac{3}{4}x+2\frac{1}{2}\right)\cdot8=44$.
- Порівняй, не виконуючи множення: 1) $\frac{7}{9}$ і $\frac{7}{9}\cdot\frac{5}{6}$. 2) $\frac{2}{9}\cdot\frac{7}{11}$ і $\frac{2}{11}\cdot\frac{7}{9}$.
- Знайди периметр і площу прямокутника зі сторонами $3\frac{1}{3}$ см і $2\frac{7}{10}$ см.
- Два велосипедисти одночасно виїхали з одного селища в протилежних напрямках. Швидкість першого — $12\frac{1}{2}$ км/год, другого — $15\frac{3}{4}$ км/год. Яка відстань буде між ними через $1\frac{3}{5}$ год?
- Мама купила $\frac{2}{5}$ кг горіхів за ціною 450 грн за кілограм і $1\frac{1}{4}$ кг печива за ціною 120 грн за кілограм. За що вона заплатила більше і на скільки?
Перевірити відповіді
- 1) $\frac{6}{35}$; 2) $\frac{2}{9}$; 3) $1\frac{1}{3}$; 4) $7\frac{1}{2}$.
- 1) 5; 2) 1.
- 1) $\frac{25}{36}$; 2) $15\frac{5}{8}$.
- 3.
- 1) 13; 2) 37.
- 1) 11; 2) $8\frac{4}{7}$.
- $\frac{2}{3}m$; для m = 9 значення дорівнює 6.
- 6 + 7c.
- x = 4.
- 1) перший вираз більший; 2) вирази рівні.
- P = $12\frac{1}{15}$ см, S = 9 см².
- $45\frac{1}{5}$ км.
- За горіхи мама заплатила більше на 30 грн.
Повний розв’язок завдання 9
| $\frac{3}{4}x\cdot8+2\frac{1}{2}\cdot8=44$ |
| $6x+20=44$ |
| $6x=24$ |
| $x=4$ |
Тут $\frac{3}{4}\cdot8=6$, бо 8 : 4 = 2, а 3 · 2 = 6. А $2\frac{1}{2}\cdot8=\frac{5}{2}\cdot8=20$. Перевірка:
підставимо x = 4. Тоді $\frac{3}{4}\cdot4=3$, і $\left(3+2\frac{1}{2}\right)\cdot8=5\frac{1}{2}\cdot8=44$.
Повний розв’язок завдання 12
| 1) | $12\frac{1}{2}+15\frac{3}{4}=28\frac{1}{4}$ (км/год) |
| 2) | $28\frac{1}{4}\cdot1\frac{3}{5}=\frac{113}{4}\cdot\frac{8}{5}=\frac{113\cdot8}{4\cdot5}$ |
| $=\frac{226}{5}=45\frac{1}{5}$ (км) |
Велосипедисти їдуть у протилежних напрямках, тому щогодини відстань між ними зростає на суму швидкостей. У добутку 8 і 4 скорочуються на 4: виходить 2 і 1. Тоді 113 · 2 = 226, а 226 : 5 = 45 (остача 1).
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Намалюйте з дитиною квадрат і поділіть його на 3 стовпці й 4 рядки. Попросіть заштрихувати $\frac{2}{3}$ ширини олівцем, а $\frac{3}{4}$ висоти фломастером. Клітинки, де є і олівець, і фломастер, утворять прямокутник $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{4}$. Таких клітинок 6 із 12, тобто половина квадрата.
Запитайте, чому $2\frac{1}{2}\cdot2$ дорівнює 5. Хороша відповідь звучить так: на 2 множимо і цілу частину, і половину. Виходить 2 · 2 = 4 і ще дві половини, тобто 4 + 1 = 5.