Взаємно обернені числа: як знайти обернене до дробу, мішаного і натурального числа, 6 клас

Приклад 1. Знайди число, обернене до $\frac{5}{9}$

Розв’язання.

Міняємо місцями чисельник 5 і знаменник 9. Виходить неправильний дріб $\frac{9}{5}$. Виділимо цілу частину:
9 : 5 = 1 (остача 4), тобто $\frac{9}{5}=1\frac{4}{5}$.

Перевірка:
$\frac{5}{9}\cdot\frac{9}{5}=\frac{5\cdot9}{9\cdot5}=1$.

Дріб $\frac{5}{9}$ менший за 1, а обернене до нього число більше за 1. Так і має бути.

Відповідь: $\frac{9}{5}$, або $1\frac{4}{5}$.

Приклад 2. Знайди число, обернене до 12

Розв’язання.

Запишемо 12 дробом зі знаменником 1:
$12=\frac{12}{1}$. Міняємо місцями чисельник і знаменник, виходить $\frac{1}{12}$.

Перевірка:
$12\cdot\frac{1}{12}=\frac{12}{12}=1$.

Це правило працює і навпаки. До дробу $\frac{1}{12}$ оберненим є число $\frac{12}{1}$, тобто натуральне число 12.

Відповідь: $\frac{1}{12}$.

Приклад 3. Знайди число, обернене до $3\frac{2}{5}$

Розв’язання.

$3\frac{2}{5}=\frac{3\cdot5+2}{5}=\frac{17}{5}$, тому оберненим є число $\frac{5}{17}$.

1. 1)Записуємо мішане число неправильним дробом. Ціла частина 3 — це $\frac{15}{5}$, бо 3 · 5 = 15. Додаємо ще $\frac{2}{5}$ і отримуємо $\frac{17}{5}$.
2. 2)Міняємо місцями чисельник 17 і знаменник 5, виходить $\frac{5}{17}$.

Перевірка:
$\frac{17}{5}\cdot\frac{5}{17}=\frac{17\cdot5}{5\cdot17}=1$.

Відповідь: $\frac{5}{17}$.

Приклад 4. Знайди число, обернене до 1,25

Розв’язання.

$1{,}25=1\frac{25}{100}=1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$, тому оберненим є число $\frac{4}{5}$.

1. 1)Записуємо десятковий дріб мішаним числом. Після коми стоять дві цифри, тому знаменник дорівнює 100:
   $1{,}25=1\frac{25}{100}$.
2. 2)Скорочуємо $\frac{25}{100}$ на 25:
   25 : 25 = 1 і 100 : 25 = 4. Виходить $1\frac{1}{4}$.
3. 3)Записуємо $1\frac{1}{4}$ неправильним дробом:
   1 · 4 + 1 = 5, тобто $\frac{5}{4}$.
4. 4)Міняємо місцями чисельник і знаменник, виходить $\frac{4}{5}$. Цей дріб можна записати й десятковим:
   $\frac{4}{5}=\frac{8}{10}=0{,}8$.

Перевірка:
1,25 · 0,8 = 1,000 = 1.

Відповідь: $\frac{4}{5}$, або 0,8.

Приклад 5. Перевір, чи взаємно обернені числа $1\frac{3}{5}$ і 0,625

Розв’язання.

Числа взаємно обернені, якщо їхній добуток дорівнює 1. Щоб перемножити числа, запишемо обидва звичайними дробами:

1. 1)Мішане число:
   1 · 5 + 3 = 8, тобто $1\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$.
2. 2)Десятковий дріб має три цифри після коми, тому знаменник дорівнює 1000. Числа 625 і 1000 обидва діляться на 125, бо 125 · 5 = 625 і 125 · 8 = 1000. Тому скорочуємо на 125:
   625 : 125 = 5 і 1000 : 125 = 8.
3. 3)Добуток дорівнює 1, тож числа взаємно обернені.

Відповідь: так, взаємно обернені.

Приклад 6. Перевір, чи взаємно обернені числа 0,9 і 9

Розв’язання.

Перемножимо числа:
0,9 · 9 = 8,1.

Добуток не дорівнює 1, тому ці числа не взаємно обернені. Однакові цифри в записі ще нічого не означають.

Знайдемо число, обернене до 0,9. Маємо $0{,}9=\frac{9}{10}$, тому оберненим є число $\frac{10}{9}=1\frac{1}{9}$.

Відповідь: ні, не взаємно обернені.

Приклад 7. Розв’яжи рівняння $0{,}8x=1$

Розв’язання.

Добуток чисел 0,8 і $x$ дорівнює 1. Отже, 0,8 і $x$ — взаємно обернені числа, і $x$ треба знайти як число, обернене до 0,8.

1. 1)Записуємо 0,8 звичайним дробом і скорочуємо на 2:
   $0{,}8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.
2. 2)Оберненим до $\frac{4}{5}$ є дріб $\frac{5}{4}$. Отже, $x=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}=1{,}25$.

Перевірка. Підставимо $x=1{,}25$ у рівняння:
0,8 · 1,25 = 1. Рівність правильна.

Так само розв’язують і рівняння, де $x$ стоїть першим множником. Від перестановки множників добуток не змінюється.

Відповідь: $1\frac{1}{4}$, або 1,25.

Приклад 8. Обчисли зручним способом $\frac{3}{10}\cdot7\cdot3\frac{1}{3}$

Розв’язання.

1. 1)Записуємо мішане число неправильним дробом:
   3 · 3 + 1 = 10, тобто $3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$. Тепер видно, що $\frac{3}{10}$ і $\frac{10}{3}$ — взаємно обернені.
2. 2)Переставляємо множник 7 в кінець і перемножуємо обернені числа першими. Їхній добуток дорівнює 1, а 1 · 7 = 7.

Відповідь: 7.

Приклад 9. Обчисли зручним способом $0{,}4\cdot\left(6{,}3\cdot2\frac{1}{2}\right)$

Розв’язання.

1. 1)Множити 6,3 на $2\frac{1}{2}$ незручно. Запишемо числа 0,4 і $2\frac{1}{2}$ звичайними дробами:
   $0{,}4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ і $2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$. Це взаємно обернені числа.
2. 2)За переставною і сполучною властивостями множення групуємо 0,4 з $2\frac{1}{2}$. Їхній добуток дорівнює 1, тому відповідь — 6,3.

Відповідь: 6,3.

Приклад 10. Знайди число, обернене до суми чисел $\frac{2}{5}$ і $\frac{1}{3}$

Розв’язання.

Спершу знайдемо саму суму, а вже потім обернене до неї число.

1. 1)Зводимо дроби до спільного знаменника 15:
   $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}$.
2. 2)Оберненим до $\frac{11}{15}$ є дріб $\frac{15}{11}=1\frac{4}{11}$, бо 15 : 11 = 1 (остача 4).

Перевертати кожен доданок окремо не можна. Обернене треба шукати до всієї суми, тобто до одного числа $\frac{11}{15}$.

Відповідь: $1\frac{4}{11}$.

Приклад 11. Знайди число, обернене до $\frac{3a}{8}$, де $a$ — натуральне число

Розв’язання.

Запис $3a$ означає $3\cdot a$, тобто в чисельнику стоїть добуток. Міняємо місцями весь чисельник $3a$ і знаменник 8, виходить $\frac{8}{3a}$.

Перевірка:
$\frac{3a}{8}\cdot\frac{8}{3a}=\frac{3a\cdot8}{8\cdot3a}=1$. У чисельнику і знаменнику добутку стоять ті самі множники $3a$ і 8, тому добуток дорівнює 1.

Чому в умові сказано, що $a$ — натуральне число? Якби $a$ дорівнювало 0, то й чисельник $3a$ дорівнював би 0, а в нуля оберненого немає.

Так само до натурального числа $m$ оберненим є число $\frac{1}{m}$, бо $m=\frac{m}{1}$.

Відповідь: $\frac{8}{3a}$.

Приклад 12. Спрости вираз $\frac{m}{3}\cdot\left(4{,}2\cdot\frac{3}{m}\right)$, де $m$ — натуральне число

Розв’язання.

1. 1)Дроби $\frac{m}{3}$ і $\frac{3}{m}$ — взаємно обернені: у них чисельник і знаменник помінялися місцями.
2. 2)За переставною і сполучною властивостями групуємо ці дроби. Їхній добуток дорівнює 1, тому вираз дорівнює 4,2 за будь-якого натурального $m$.

Відповідь: 4,2.