Ти дізнаєшся, що означає запис 3 : 2 і як за ним порівнюють два числа чи дві величини. Навчишся спрощувати відношення, позбуватися в ньому дробів і знаходити невідоме число за відомим відношенням.
Уже розв’язав вправи й сумніваєшся, яке число писати першим? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке відношення
У гуртку 15 футболістів і 6 шахістів. Порівняймо ці числа діленням.
Поділимо 15 на 6:
15 : 6 = 2,5. Отже, футболістів у 2,5 раза більше, ніж шахістів.
Тепер поділимо 6 на 15:
$6:15=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$. Отже, кількість шахістів становить $\frac{2}{5}$ від кількості футболістів.
Обидві частки, 15 : 6 і 6 : 15, називають відношеннями. Перший запис читають так: «відношення п’ятнадцяти до шести».
Означення. Частку двох чисел називають відношенням цих чисел. Відношення числа a до числа b записують a : b або дробом $\frac{a}{b}$. На нуль ділити не можна, тому друге число відношення не дорівнює нулю.
Відношення показує, у скільки разів перше число більше за друге або яку частину перше число становить від другого.
Першим у відношенні пишуть те число, яке названо першим. «Відношення 15 до 6» — це 15 : 6, а «відношення 6 до 15» — це 6 : 15. Це різні відношення, бо 2,5 і $\frac{2}{5}$ — різні числа.
Тепер зрозуміло, що означає запис 3 : 2. Його читають «три до двох». Він означає, що перше число в 1,5 раза більше за друге, бо 3 : 2 = 1,5.
Основна властивість відношення
Відношення можна записати дробом. А дріб не змінюється, якщо його чисельник і знаменник помножити або поділити на те саме число, відмінне від нуля. Це основна властивість дробу з § 3.
Основна властивість відношення. Відношення двох чисел не зміниться, якщо кожне з них помножити або поділити на те саме число, відмінне від нуля.
Наприклад, обидва числа відношення 18 : 12 поділимо на 6:
18 : 12 = 3 : 2. Значення обох відношень однакове, бо 18 : 12 = 1,5 і 3 : 2 = 1,5.
Ділити обидва числа зручно, щоб спростити відношення, як ми скорочували дріб. Множити обидва числа зручно, щоб позбутися ком і дробів.
Наприклад, у відношенні 4,2 : 3,5 обидва числа помножимо на 10, а потім поділимо на 7:
4,2 : 3,5 = 42 : 35 = 6 : 5.
Обидва числа завжди множимо на те саме число. Його вибираємо за тим числом, у якому більше цифр після коми: одна цифра — множимо на 10, дві — на 100, три — на 1000. Наприклад, у 0,6 : 0,25 обидва числа множимо на 100:
0,6 : 0,25 = 60 : 25 = 12 : 5.
Відношення величин
Величини теж можна порівняти діленням: довжини, маси, площі, проміжки часу. Але ділити числа можна лише тоді, коли обидві величини виражено в одній і тій самій одиниці.
Правило. Якщо дві величини виміряно однією й тією самою одиницею, то відношення їхніх числових значень називають відношенням цих величин.
Тому спершу переводимо величини в одну одиницю, а вже потім ділимо. Наприклад, відношення 1 год до 20 хв дорівнює 60 : 20 = 3, бо 1 год = 60 хв.
Обернене відношення
Якщо у відношенні a : b поміняти числа місцями, вийде відношення b : a. Тут обидва числа a і b не дорівнюють нулю. Його називають оберненим до відношення a : b. Так само дріб $\frac{b}{a}$ обернений до дробу $\frac{a}{b}$.
Наприклад, для відношення 6 : 15 оберненим є відношення 15 : 6, а для відношення $\frac{4}{9}$ — відношення $\frac{9}{4}$. Відношення 6 : 15 відповідає на запитання «яку частину 6 становить від 15». Обернене відношення 15 : 6 відповідає на запитання «у скільки разів 15 більше за 6».
Алгоритм
Як записати й спростити відношення
- Першим запиши те число, яке в умові названо першим. Від порядку чисел залежить значення відношення.
- Якщо це величини, переведи їх в одну одиницю. Ділити можна лише числа, виміряні однаковими одиницями.
- Якщо в числах є коми, помнож обидва числа на 10, 100 або 1000, щоб коми зникли в обох числах. Мішані числа запиши неправильними дробами. Якщо є звичайні дроби, помнож обидва числа на спільний знаменник. За основною властивістю відношення від цього не зміниться.
- Поділи обидва числа на їхній найбільший спільний дільник. Тоді відношення буде записане найменшими натуральними числами.
Розв’язані приклади
Приклад 1. Спрости відношення 84 : 36
Розв’язання.
Найбільший спільний дільник чисел 84 і 36 дорівнює 12. Поділимо на 12 обидва числа відношення:
84 : 36 = 7 : 3.
- 1)Ділимо перше число:
84 : 12 = 7. - 2)Ділимо друге число:
36 : 12 = 3.
Числа 7 і 3 не мають спільних дільників, крім 1, тому простіше записати це відношення не можна. Як число воно дорівнює $\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$. Отже, 84 у $2\frac{1}{3}$ раза більше за 36.
Якщо найбільший спільний дільник одразу не видно, ділити можна кілька разів. Наприклад, 84 і 36 можна поділити спершу на 2, потім ще на 2, а потім на 3. Великі числа зручно розкласти на прості множники і поділити обидва числа на спільні множники, як під час скорочення дробу.
Відповідь: 7 : 3.
Приклад 2. Заміни відношення $\frac{5}{6}:\frac{3}{4}$ відношенням натуральних чисел
Розв’язання.
Перший спосіб. Найменший спільний знаменник дробів $\frac{5}{6}$ і $\frac{3}{4}$ дорівнює 12. Помножимо на 12 обидва числа відношення:
| $\frac{5}{6}:\frac{3}{4}=\left(\frac{5}{6}\cdot12\right):\left(\frac{3}{4}\cdot12\right)=10:9$ |
- 1)Множимо перше число:
$\frac{5}{6}\cdot12=\frac{5\cdot12}{6}=10$. - 2)Множимо друге число:
$\frac{3}{4}\cdot12=\frac{3\cdot12}{4}=9$.
Другий спосіб. Відношення — це частка, тому можна просто поділити дроби, як у § 12:
| $\frac{5}{6}:\frac{3}{4}=\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{3}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}=10:9$ |
Обидва способи дають те саме відношення. У першому способі обидва числа множимо на те саме число, тому значення відношення не змінюється.
Якщо у відношенні є мішане число, спершу запиши його неправильним дробом, а потім дій так само. Якщо дріб у відношенні лише один, обидва числа множимо на його знаменник. Наприклад, у відношенні $5:\frac{2}{3}$ обидва числа множимо на 3 і отримуємо 15 : 2.
Відповідь: 10 : 9.
Приклад 3. Знайди відношення 750 г до 2 кг
Розв’язання.
Величини виміряно різними одиницями. Переведемо кілограми в грами:
2 кг = 2000 г.
Тепер ділимо числові значення і спрощуємо відношення:
750 : 2000 = 3 : 8.
- 1)Найбільший спільний дільник чисел 750 і 2000 дорівнює 250.
- 2)Ділимо обидва числа на 250:
750 : 250 = 3 і 2000 : 250 = 8.
Отже, 750 г становлять $\frac{3}{8}$ від 2 кг.
Обчислюючи відношення площ, будь уважним. 1 м = 10 дм, тому квадрат зі стороною 1 м складається з 10 · 10 = 100 квадратів зі стороною 1 дм. Отже, 1 м² = 100 дм².
Відповідь: 3 : 8.
Задачі
Якщо задача питає «у скільки разів більше», перше число відношення — більша величина. Якщо задача питає «яку частину становить», перше число — це частина, а друге — те, від чого її беруть. Таку відповідь зазвичай записують дробом, але $\frac{3}{10}$ і 3 : 10 означають те саме.
Приклад 4. Знайди, яку частину всіх фруктів становлять груші
У ящику 1,8 кг груш і 4,2 кг яблук. Яку частину всіх фруктів у ящику становлять груші?
Розв’язання.
Груші порівнюємо з усіма фруктами. Тому спершу знайдемо масу всіх фруктів.
| 1) | 1,8 + 4,2 = 6 (кг) — усі фрукти |
| 2) | $1{,}8:6=18:60=\frac{18}{60}=\frac{3}{10}$ |
- 1)Додаємо масу груш і масу яблук.
- 2)Обидва числа відношення множимо на 10, щоб позбутися коми. Потім скорочуємо дріб на 6.
Перевірка:
$6\cdot\frac{3}{10}=1{,}8$ (кг). Вийшла маса груш з умови.
Відповідь: $\frac{3}{10}$ усіх фруктів.
Приклад 5. Знайди число x, якщо відношення x до 18 дорівнює $\frac{5}{6}$
Розв’язання.
Відношення — це частка, тому x : 18 — це ділення. Тут x — ділене, 18 — дільник, а $\frac{5}{6}$ — частка. Щоб знайти невідоме ділене, дільник множать на частку:
$x=18\cdot\frac{5}{6}=\frac{18\cdot5}{6}=15$
Перевірка:
$15:18=\frac{15}{18}=\frac{5}{6}$.
Буває, що невідоме друге число відношення, тобто дільник. Тоді ділене ділять на частку. Наприклад, якщо $21:a=\frac{3}{4}$, то $a=21:\frac{3}{4}=\frac{21\cdot4}{3}=28$.
Відповідь: x = 15.
Приклад 6. Знайди, як зміниться відношення a : b, якщо число b збільшити в 4 рази
Розв’язання.
Запишемо відношення дробом $\frac{a}{b}$. Число b стоїть у знаменнику. Якщо знаменник збільшити в 4 рази, то дріб зменшиться в 4 рази. Так буває тому, що те саме число a ділимо на вчетверо більше число.
Перевіримо на числах. Нехай a = 12 і b = 3. Тоді a : b = 12 : 3 = 4.
Збільшимо b у 4 рази:
3 · 4 = 12. Нове відношення дорівнює 12 : 12 = 1. Було 4, стало 1, тобто відношення зменшилося в 4 рази.
Якщо в кілька разів збільшити перше число a, то відношення збільшиться в стільки само разів, бо a стоїть у чисельнику. Якщо перше число a зменшити в кілька разів, відношення зменшиться в стільки само разів. Якщо в кілька разів зменшити друге число b, відношення збільшиться в стільки само разів.
Відповідь: відношення зменшиться в 4 рази.
Відношення навколо нас
На банці фарби може бути написано: «розвести водою у відношенні 1 : 3». Це означає, що води беруть утричі більше, ніж фарби. Наприклад, на 200 мл фарби треба 200 · 3 = 600 (мл) води.
| уся суміш | |||
| фарба | вода | вода | вода |
Фарби 200 мл, а води 600 мл, тобто втричі більше. Тому фарба займає одну клітинку смужки, а вода — три.
Яку частину суміші становить фарба? Не $\frac{1}{3}$, бо 1 : 3 порівнює фарбу лише з водою. Усієї суміші 200 + 600 = 800 (мл), тому фарба становить
$200:800=\frac{1}{4}$ суміші.
Кількість пікселів екрана телефона чи телевізора в ширину і у висоту часто записують так: 1920 на 1080. Знайдемо відношення ширини до висоти:
1920 : 1080 = 16 : 9. Обидва числа поділили на 120.
Екран 1280 на 720 пікселів менший, але його відношення теж дорівнює 16 : 9, бо 1280 : 80 = 16 і 720 : 80 = 9. Тому обидва екрани мають однакову форму. Однакове відношення сторін означає однакову форму прямокутника, хоч яким великим він є.
Як перевірити себе
- Порівняй значення відношень. Обчисли значення початкового відношення і того, що вийшло після спрощення. Вони мають бути рівними, бо за основною властивістю відношення не змінюється:
18 : 12 = 1,5 і 3 : 2 = 1,5. - Перевір, чи відношення більше за 1. Якщо перше число більше за друге, відношення має бути більшим за 1. Якщо перше число менше, відношення має бути меншим за 1. Якщо числа рівні, відношення дорівнює 1. Коли значення не відповідає порядку чисел, їх, найімовірніше, переставлено.
- Перевір одиниці. Перед діленням обидві величини мають бути в одних одиницях: години й хвилини, кілограми й грами разом ділити не можна.
- Знайдене число підстав у відношення. Обчисли відношення з цим числом. Має вийти те відношення, яке дано в умові.
Де найчастіше помиляються
1. Переставили числа відношення місцями
Завдання: сторони трикутника дорівнюють 6 см, 8 см і 10 см. Знайди відношення найменшої сторони до найбільшої.
Неправильно
| 10 : 6 = 5 : 3 |
Правильно
| 6 : 10 = 3 : 5 |
Як помітити: першою названо найменшу сторону, тому вона стоїть першою. Найменша сторона менша за найбільшу, отже, відношення має бути меншим за 1, а 5 : 3 більше за 1.
2. Поділили величини, виміряні різними одиницями
Завдання: знайди відношення 40 хв до 2 год.
Неправильно
| 40 : 2 = 20 |
Правильно
| 2 год = 120 хв |
| 40 : 120 = 1 : 3 |
Як помітити: 40 хв менше за 2 год, тому відношення має бути меншим за 1. Відповідь 20 означала б, що 40 хв у 20 разів довші за 2 год.
3. На знаменник помножили лише одне число відношення
Завдання: заміни відношення $\frac{3}{4}:2$ відношенням натуральних чисел.
Неправильно
| $\frac{3}{4}:2=3:2$ |
Правильно
| $\frac{3}{4}:2=\left(\frac{3}{4}\cdot4\right):(2\cdot4)$ = 3 : 8 |
Як помітити: порівняй значення відношень. $\frac{3}{4}:2=\frac{3}{8}$, а 3 : 2 = 1,5, тобто відношення змінилося. Основна властивість дозволяє множити лише обидва числа одночасно.
4. Сплутали, зменшиться відношення чи збільшиться
Завдання: як зміниться відношення a : b, якщо число b збільшити в 5 разів?
Неправильно
| збільшиться в 5 разів |
Правильно
| a = 10, b = 2 |
| 10 : 2 = 5 |
| 2 · 5 = 10 |
| 10 : 10 = 1 |
| зменшиться в 5 разів |
Як помітити: b — дільник, тобто знаменник дробу $\frac{a}{b}$. Що більший знаменник, то менший дріб. Перевір на зручних числах. Візьми a = 10 і b = 2, тоді відношення дорівнює 5. Якщо b збільшити в 5 разів, вийде 10, і нове відношення дорівнює 1, тобто в 5 разів менше.
Спробуй сам
- Спрости відношення: 1) 45 : 75; 2) 2,8 : 4,2.
- Заміни відношенням натуральних чисел: 1) $\frac{2}{3}:\frac{4}{5}$; 2) $2\frac{1}{4}:1\frac{1}{2}$.
- Знайди відношення: 1) 35 см до 1 м; 2) 3 м² до 50 дм².
- Знайди відношення, обернене до заданого: 1) 8 : 5; 2) $\frac{2}{9}$.
- У класі 14 дівчат і 16 хлопців. Яку частину всіх учнів класу становлять дівчата?
- 1) Відношення числа x до числа 25 дорівнює $\frac{4}{5}$. Знайди x. 2) Відношення числа 36 до числа a дорівнює $\frac{9}{4}$. Знайди a.
- Як зміниться відношення a : b, якщо: 1) число a зменшити в 3 рази; 2) число b зменшити в 1,5 раза?
- Змішали 100 мл сиропу і 250 мл води. Знайди відношення сиропу до води і яку частину напою становить сироп.
Перевірити відповіді
- 1) 3 : 5; 2) 2 : 3.
- 1) 5 : 6; 2) 3 : 2.
- 1) 7 : 20; 2) 6 : 1.
- 1) 5 : 8; 2) $\frac{9}{2}$.
- $\frac{7}{15}$ усіх учнів.
- 1) x = 20; 2) a = 16.
- 1) Зменшиться в 3 рази; 2) збільшиться в 1,5 раза.
- 2 : 5; $\frac{2}{7}$ напою.
Повний розв’язок завдання 2, пункт 2)
| $2\frac{1}{4}:1\frac{1}{2}=\frac{9}{4}:\frac{3}{2}$ |
| $=\left(\frac{9}{4}\cdot4\right):\left(\frac{3}{2}\cdot4\right)=9:6=3:2$ |
Мішані числа спершу перетворюємо на неправильні дроби:
2 · 4 + 1 = 9 і 1 · 2 + 1 = 3. Спільний знаменник 4, тому множимо на 4 обидва числа. Потім ділимо 9 і 6 на 3.
Повний розв’язок завдання 6
1) Відношення x : 25 — це ділення, і x у ньому ділене. Ділене дорівнює дільнику, помноженому на частку:
$x=25\cdot\frac{4}{5}=20$. Перевірка:
$20:25=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
2) Тут невідомий дільник a. Дільник дорівнює діленому, поділеному на частку:
$a=36:\frac{9}{4}=\frac{36\cdot4}{9}=16$. Перевірка:
$36:16=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}$.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Налийте в глечик 1 склянку соку і 3 склянки води. Запитайте дитину, у якому відношенні змішано сік і воду. Правильна відповідь — 1 : 3.
Потім запитайте, яку частину всього напою становить сік. Багато дітей відповідає «третину», хоча в глечику 4 склянки, і сік — лише одна з них. Отже, сік становить $\frac{1}{4}$ напою.
Якщо дитина плутає, яке число писати першим, нехай щоразу вимовляє відношення вголос: «сік до води». Що названо першим, те й пишуть першим.