Ти навчишся записувати відсотки десятковим дробом і навпаки та знаходити відсотки від числа. Розберемо «швидкі» відсотки і задачі: скільки залишилося, скільки грошей стане на рахунку в банку і скільки становить відсоток від решти.
Уже розв’язав вправи й не впевнений, скільки нулів писати після коми? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке відсоток
Поділимо квадрат на 100 рівних клітинок. Одна клітинка — це сота частина квадрата. Таку частину називають відсотком (або процентом).
У квадраті 100 рівних клітинок, зафарбовано 23 з них. Отже, зафарбовано 23 % квадрата.
Означення. Відсоток — це сота частина числа або значення величини. Позначають його знаком %, який пишуть через пробіл після числа: 5 %, 137 %.
$1\,\%=\frac{1}{100}=0{,}01$. Усе число становить 100 відсотків, тобто 100 % = 1.
Щоб знайти 1 % від числа, число ділять на 100. Наприклад, 1 % від 300 грн дорівнює:
300 : 100 = 3 (грн).
Деякі одиниці вимірювання вже є сотими частинами інших. У метрі 100 сантиметрів, тому 1 см — це 1 % від метра. Так само 1 кг — це 1 % від центнера, а 1 ар (сотка) — 1 % від гектара.
Як переводити відсотки в дроби і назад
Три правила переведення
- Щоб записати відсотки десятковим дробом, кількість відсотків ділять на 100. Так роблять тому, що кожен відсоток — це одна сота.
- Щоб записати десятковий дріб у відсотках, його множать на 100 %. Так можна робити тому, що 100 % = 1, а від множення на 1 число не змінюється.
- Щоб записати у відсотках звичайний дріб, спершу ділять чисельник на знаменник. Вийде десятковий дріб, а його вже множать на 100 %.
Приклад 1. Запиши 8 % десятковим дробом
Розв’язання.
$8\,\%=\frac{8}{100}$ = 8 : 100 = 0,08
Щоб поділити 8 на 100, кому переносимо на дві цифри ліворуч. Перед цифрою 8 бракує ще однієї цифри, тому дописуємо нуль: виходить 0,08.
Звичайним дробом будь-яку кількість відсотків записують зі знаменником 100. Наприклад, $20\,\%=\frac{20}{100}$.
Так само 135 % = 135 : 100 = 1,35. Відсотків більше за 100, тому й дріб вийшов більшим за 1.
Відповідь: 0,08.
Приклад 2. Запиши у відсотках десятковий дріб 0,4
Розв’язання.
0,4 = 0,4 · 100 % = 40 %
Множимо саме на 100 %, бо 100 % = 1, і число від цього не змінюється. Щоб помножити 0,4 на 100, переносимо кому на дві цифри праворуч. Після коми стоїть лише одна цифра, тому дописуємо нуль: виходить 40.
Так само 1,25 = 125 %, а 0,035 = 3,5 %.
Відповідь: 40 %.
Приклад 3. Запиши дріб $\frac{3}{25}$ у відсотках
Розв’язання.
- 1)Перетворимо дріб у десятковий. Для цього ділимо чисельник на знаменник:
$\frac{3}{25}$ = 3 : 25 = 0,12. Перевірка: 0,12 · 25 = 3. - 2)Множимо десятковий дріб на 100 %:
0,12 · 100 % = 12 %.
Так само $\frac{1}{2}$ = 1 : 2 = 0,5 = 50 %. Тому половина числа — це його 50 %.
Відповідь: 12 %.
Приклад 4. Скільки відсотків від 1 м становлять 6 дм?
Розв’язання.
Запишемо обидві довжини в сантиметрах:
1 м = 100 см, а 6 дм = 60 см. Один сантиметр — це 1 % від метра. Тому 60 см — це 60 % від метра.
Так само рахують і з центнером:
1 ц = 100 кг, тому 4 кг — це 4 % від центнера. Якщо довжину дано в метрах десятковим дробом, теж переходь до сантиметрів: 0,45 м = 45 см, тобто 45 % від метра.
Відповідь: 60 %.
Як знайти відсотки від числа
Правило. Щоб знайти відсотки від числа, число ділять на 100 і множать на потрібну кількість відсотків.
Поділивши на 100, ми знаходимо 1 %. Потім беремо стільки таких відсотків, скільки потрібно.
Приклад 5. Знайди масу цукру в буряках
Цукор становить 16 % маси цукрових буряків. Скільки кілограмів цукру містять 450 кг буряків?
Уся маса буряків — це 100 %. Шукаємо її частину, яка становить 16 %.
Розв’язання.
| 1) | 450 : 100 = 4,5 (кг) — це 1 % від 450 кг |
| 2) | 4,5 · 16 = 72 (кг) — це 16 % від 450 кг |
Коротше можна записати одним виразом:
450 : 100 · 16 = 72.
Так само розв’язують задачі, де після того, як знайшли відсотки, треба виконати ще одну дію. Наприклад, спершу знаходять ширину прямокутника як відсотки від довжини, а потім його площу.
Якщо величину записано двома одиницями, спершу запиши її однією. Наприклад, щоб знайти 15 % від 2 м 60 см, спершу пишемо 2 м 60 см = 260 см. Тоді 260 : 100 · 15 = 39 (см).
Масу 5 ц 40 кг так само спершу записують у кілограмах: 540 кг.
Відповідь: 72 кг.
Швидкі відсотки
Деякі відсотки легко знайти усно. 50 % — це половина числа, бо $\frac{1}{2}$ = 0,5 = 50 %. Так само $\frac{1}{4}$ = 1 : 4 = 0,25 = 25 %, тобто 25 % — це чверть числа, а 75 % — три чверті.
10 % — це десята частина числа. Справді, якщо поділити число на 100 і помножити на 10, вийде те саме, що й після ділення на 10.
| Відсотки | Як знайти | Від 360 |
|---|---|---|
| 1 % | поділити на 100 | 3,6 |
| 10 % | поділити на 10 | 36 |
| 25 % | поділити на 4 | 90 |
| 50 % | поділити на 2 | 180 |
| 75 % | поділити на 4 і помножити на 3 | 270 |
Таблиця допомагає ще й перевіряти відповідь прикидкою. Наприклад, 18 % більше за 10 % і менше за 25 %. Тому 18 % від 360 мають бути більшими за 36 і меншими за 90.
Обчислимо за правилом:
360 : 100 · 18 = 3,6 · 18 = 64,8. Число 64,8 справді лежить між 36 і 90.
Приклад 6. Знайди 75 % від 240
Розв’язання.
75 % — це три чверті числа. Тому ділимо 240 на 4 і беремо три такі частини:
240 : 4 · 3 = 60 · 3 = 180
За правилом вийде те саме:
240 : 100 · 75 = 2,4 · 75 = 180. Швидкий спосіб коротший, бо ділити на 4 легше, ніж множити на 75.
Відповідь: 180.
Задачі на відсотки
У задачі спершу визнач, яке число є цілим, тобто становить 100 %. Саме його ділять на 100. Потім подумай, що питають: саму частину, решту чи нове значення величини.
Приклад 7. Знайди, скільки залишилося
Під час сушіння сливи втрачають 80 % своєї маси. Скільки кілограмів сушених слив вийде з 35 кг свіжих?
Розв’язання.
Перший спосіб. Знайдемо, скільки маси втратять сливи, і віднімемо це від усієї маси.
| 1) | 35 : 100 · 80 = 28 (кг) — втратять |
| 2) | 35 − 28 = 7 (кг) |
Другий спосіб. Уся маса — це 100 %. Після сушіння залишиться така частина маси:
100 % − 80 % = 20 %.
35 : 100 · 20 = 0,35 · 20 = 7 (кг)
Обидва способи дають ту саму відповідь, тому вибирай той, у якому легше рахувати.
Відповідь: 7 кг.
Приклад 8. Знайди, скільки грошей буде на рахунку
Вкладник поклав до банку 20 000 грн під 5 % річних. Це означає, що наприкінці кожного року банк додає до рахунку 5 % від суми, яка там є. Скільки грошей буде на рахунку через два роки?
Розв’язання.
| 1) | 20 000 : 100 · 5 = 1000 (грн) — за перший рік |
| 2) | 20 000 + 1000 = 21 000 (грн) — через рік |
| 3) | 21 000 : 100 · 5 = 1050 (грн) — за другий рік |
| 4) | 21 000 + 1050 = 22 050 (грн) |
- 1)Першого року ціле — 20 000 грн, бо саме стільки лежить на рахунку.
- 2)Банк додав ці гроші до рахунку, тому додаємо їх до суми вкладу.
- 3)Другого року ціле вже інше: 21 000 грн. Тому за другий рік банк додає більше, ніж за перший.
- 4)Додаємо нарахування другого року.
Перші дві дії розв’язують і задачі на кшталт «план перевиконали на 5 %». Якщо величина зменшилася на кілька відсотків, знайдену частину не додають, а віднімають. Якщо число збільшили на 100 %, до нього додали ще одне таке саме число, тобто воно зросло у 2 рази.
Відповідь: 22 050 грн.
Приклад 9. Знайди відсоток від решти
Велосипедист мав проїхати 60 км. До обіду він проїхав 40 % цього шляху, а після обіду — 75 % решти. Скільки кілометрів йому ще залишилося проїхати?
До обіду велосипедист проїхав помаранчеву частину. Решту, 36 км, поділено на 4 рівні частини: сині він проїхав після обіду, а зелену ще має проїхати.
Розв’язання.
| 1) | 60 : 100 · 40 = 24 (км) — до обіду |
| 2) | 60 − 24 = 36 (км) — решта |
| 3) | 36 : 4 · 3 = 27 (км) — після обіду |
| 4) | 36 − 27 = 9 (км) |
- 1)40 % узято від усього шляху, тому ціле — 60 км.
- 2)Слово «решти» означає: спершу знаходимо, скільки шляху залишилося проїхати після поїздки до обіду.
- 3)Тепер ціле — решта, 36 км. 75 % — це три чверті, тому ділимо на 4 і множимо на 3.
- 4)Від решти віднімаємо шлях після обіду.
Так само ціле змінюється, коли відсоток беруть від іншої частини. Якщо сказано «30 % від кількості хлопців», то ціле — кількість хлопців, і її треба знайти першою.
Відповідь: 9 км.
Як перевірити себе
- Порівняй відповідь із цілим. Якщо відсотків менше за 100, частина має вийти меншою за ціле. Так буває тому, що 100 % — це все число.
- Зроби прикидку швидкими відсотками. Вибери два швидкі відсотки, між якими лежить твоя кількість відсотків. Для 18 % це 10 % і 25 %, а для 7 % — 1 % і 10 %. Знайди їх від того самого числа. Відповідь має лежати між цими двома числами, бо більша кількість відсотків дає більшу частину.
- Перевір переведення оберненою дією. Якщо ти поділив відсотки на 100, помнож отриманий дріб на 100. Має вийти та сама кількість відсотків, з якої ти починав.
- Додай усі частини. Якщо ціле поділено на кілька частин, їхня сума має дорівнювати цілому. Так буває тому, що всі частини разом становлять 100 %.
Де найчастіше помиляються
1. Не дописали нуль, коли ділили на 100
Завдання: записати 6 % десятковим дробом.
Неправильно
| 6 % = 0,6 |
Правильно
| 6 % = 6 : 100 = 0,06 |
Як помітити: помнож свою відповідь на 100. Оскільки 0,6 · 100 = 60, дріб 0,6 — це 60 %, а не 6 %.
2. Помножили на кількість відсотків і не поділили на 100
Завдання: знайти 12 % від 50.
Неправильно
| 50 · 12 = 600 |
Правильно
| 50 : 100 · 12 = 0,5 · 12 = 6 |
Як помітити: 12 % менше за 100 %, тобто менше за все число. Тому відповідь має бути меншою за 50, а 600 набагато більше.
3. Знайшли, на скільки зменшилася величина, і на цьому зупинилися
Завдання: на один виріб завод витрачав 320 кг металу. Нова технологія зменшила цю витрату на 5 %. Скільки металу йде на виріб тепер?
Неправильно
| 320 : 100 · 5 = 16 (кг) |
Правильно
| 1) | 320 : 100 · 5 = 16 (кг) — на стільки менше |
| 2) | 320 − 16 = 304 (кг) |
Як помітити: перечитай запитання. Питають, скільки металу йде тепер, а 16 кг — це лише те, на скільки витрата зменшилася.
4. Відсоток решти взяли від усього числа
Завдання: у бочці було 200 л води. Спочатку використали 30 % води, а потім — 50 % решти. Скільки літрів використали другого разу?
Неправильно
| 200 : 2 = 100 (л) |
Правильно
| 1) | 200 : 100 · 30 = 60 (л) |
| 2) | 200 − 60 = 140 (л) — решта |
| 3) | 140 : 2 = 70 (л) |
Як помітити: якщо в умові є слово «решти», то ціле змінюється. Спершу знайди, скільки залишилося, і лише від цього числа бери відсотки.
Спробуй сам
- Запиши десятковим дробом: 1) 4 %; 2) 27 %; 3) 160 %.
- Запиши у відсотках: 1) 0,7; 2) 0,03; 3) 2,4.
- Запиши дріб у вигляді десяткового, а потім у відсотках: 1) $\frac{7}{25}$; 2) $\frac{9}{20}$.
- Скільки відсотків від 1 ц становлять: 1) 9 кг; 2) 0,3 ц?
- Знайди: 1) 7 % від 600; 2) 35 % від 80.
- Знайди 20 % від 3 м 50 см.
- Знайди усно 25 % і 75 % від 120 кг.
- Під час сушіння яблука втрачають 90 % своєї маси. Скільки кілограмів сушених яблук вийде з 30 кг свіжих?
- Бригада мала зібрати 150 т зерна, але перевиконала план на 8 %. Скільки тонн зерна зібрала бригада?
- Родина витрачала 250 л води на день, а потім зменшила витрату на 12 %. Скільки літрів води на день родина витрачає тепер?
- У книжці 240 сторінок. Першого дня Оля прочитала 25 % книжки, а другого — 40 % решти. Скільки сторінок їй залишилося прочитати?
- Вкладник поклав до банку 10 000 грн під 6 % річних. Скільки грошей буде на рахунку через два роки?
Перевірити відповіді
- 1) 0,04; 2) 0,27; 3) 1,6.
- 1) 70 %; 2) 3 %; 3) 240 %.
- 1) 0,28 = 28 %; 2) 0,45 = 45 %.
- 1) 9 %; 2) 30 %.
- 1) 42; 2) 28.
- 70 см.
- 30 кг і 90 кг.
- 3 кг.
- 162 т.
- 220 л.
- 108 сторінок.
- 11 236 грн.
Повний розв’язок завдання 11
| 1) | 240 : 4 = 60 (с.) — першого дня |
| 2) | 240 − 60 = 180 (с.) — решта |
| 3) | 180 : 100 · 40 = 72 (с.) — другого дня |
| 4) | 180 − 72 = 108 (с.) |
25 % — це чверть книжки, тому 240 ділимо на 4. Другого дня ціле вже інше: решта, 180 сторінок.
Повний розв’язок завдання 12
| 1) | 10 000 : 100 · 6 = 600 (грн) — за перший рік |
| 2) | 10 000 + 600 = 10 600 (грн) — через рік |
| 3) | 10 600 : 100 · 6 = 636 (грн) — за другий рік |
| 4) | 10 600 + 636 = 11 236 (грн) |
Другого року банк нараховує відсотки вже від 10 600 грн, тому за другий рік додає більше, ніж за перший.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Покладіть перед дитиною купюру 100 грн і запитайте, скільки становить 1 % від неї. Відповідь «1 гривня» показує, що дитина розуміє відсоток як соту частину.
Потім запитайте, що більше: 9 % чи 0,9. Правильна відповідь — 0,9, бо 0,9 — це 90 %. Це запитання перевіряє найчастішу помилку з нулями після коми.