Як знайти дріб від числа: правило, відсотки і задачі, 6 клас

Приклад 1. Знайди $\frac{5}{8}$ від 56

Розв’язання.

$56\cdot\frac{5}{8}=\frac{56\cdot5}{8}=35$

1. 1)За правилом множимо 56 на дріб $\frac{5}{8}$. Число 56 множиться лише на чисельник, а знаменник 8 залишається.
2. 2)Скорочуємо 56 і 8 на 8:
   56 : 8 = 7 і 8 : 8 = 1. Отже, $\frac{56\cdot5}{8}=7\cdot5=35$.

Перевіримо способом із 5 класу:
56 : 8 = 7, а 7 · 5 = 35. Відповідь та сама.

Відповідь: 35.

Приклад 2. Знайди $\frac{7}{4}$ від 20

Розв’язання.

$20\cdot\frac{7}{4}=\frac{20\cdot7}{4}=35$

1. 1)Дріб $\frac{7}{4}$ неправильний, але правило те саме: множимо 20 на дріб.
2. 2)Скорочуємо 20 і 4 на 4:
   20 : 4 = 5. Далі 5 · 7 = 35.

Ціле 20 ділимо на 4 частини по 5. Беремо 7 таких частин: усі 4 частини цілого і ще 3 такі самі.

Результат 35 більший за 20. Так і має бути, бо неправильний дріб $\frac{7}{4}$ більший за 1. Частин узяли більше, ніж їх є в цілому.

Відповідь: 35.

Приклад 3. Знайди 0,6 від 45

Розв’язання.

Перший спосіб. Запишемо десятковий дріб звичайним:
$0{,}6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.

$45\cdot\frac{3}{5}=\frac{45\cdot3}{5}=27$

Тут 45 : 5 = 9, а 9 · 3 = 27.

Другий спосіб. Помножимо 45 на десятковий дріб, як у 5 класі:
45 · 0,6 = 27,0 = 27.

Правило працює і для десяткових дробів, тому обидва способи дають ту саму відповідь. Вибирай той, у якому легше рахувати.

Відповідь: 27.

Приклад 4. Знайди 75 % від 48

Розв’язання.

Спершу запишемо відсотки дробом:
$75\,\%=\frac{75}{100}=0{,}75=\frac{3}{4}$.

$48\cdot\frac{3}{4}=\frac{48\cdot3}{4}=36$, або 48 · 0,75 = 36.

1. 1)Дріб $\frac{75}{100}$ скорочуємо на 25:
   75 : 25 = 3 і 100 : 25 = 4.
2. 2)Множимо 48 на $\frac{3}{4}$:
   48 : 4 = 12, а 12 · 3 = 36.

Усе число 48 — це 100 %. Кожна четверта частина — це 25 %, тобто 48 : 4 = 12. Три такі частини — це 75 %, тобто 12 · 3 = 36.

Схема та сама, що й для дробу: ціле ділимо на рівні частини і беремо кілька з них.

Відповідь: 36.

Приклад 5. Знайди $1\frac{2}{3}$ від 0,36

Розв’язання.

Запишемо обидва числа звичайними дробами.

Мішане число:
$1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$, бо 1 · 3 + 2 = 5.

Десятковий дріб:
$0{,}36=\frac{36}{100}=\frac{9}{25}$, бо 36 і 100 скорочуються на 4.

Тепер множимо 0,36 на $1\frac{2}{3}$:

$0{,}36\cdot1\frac{2}{3}=\frac{9}{25}\cdot\frac{5}{3}=\frac{9\cdot5}{25\cdot3}=\frac{3}{5}=0{,}6$

1. 1)Числа 9 і 3 ділимо на 3: виходить 3 і 1.
2. 2)Числа 5 і 25 ділимо на 5: виходить 1 і 5.
3. 3)Залишається $\frac{3\cdot1}{1\cdot5}=\frac{3}{5}$, а $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0{,}6$.

Відповідь: $\frac{3}{5}$, або 0,6.

Приклад 6. Знайди 4,5 % від 26,4

Розв’язання.

Запишемо відсотки десятковим дробом. Щоб поділити 4,5 на 100, переносимо кому на дві цифри ліворуч. Перед 4 є лише одна цифра, тому дописуємо нулі:
4,5 % = 4,5 : 100 = 0,045.

26,4 · 0,045 = 1,188

1. 1)Множимо, не звертаючи уваги на коми:
   264 · 45 = 11 880.
2. 2)У множниках після коми разом 1 + 3 = 4 цифри. Відокремлюємо комою 4 цифри справа:
   1,1880 = 1,188.

Прикинемо: 5 % від 26,4 дорівнює 26,4 · 0,05 = 1,32. А 4,5 % трохи менше за 5 %, тому відповідь має бути трохи меншою за 1,32. Число 1,188 підходить.

Відповідь: 1,188.

Приклад 7. Запиши $12\frac{1}{2}\,\%$ звичайним дробом

Розв’язання.

Один відсоток — це $\frac{1}{100}$, тому кількість відсотків множимо на $\frac{1}{100}$:

1. 1)Мішане число $12\frac{1}{2}$ записуємо неправильним дробом:
   12 · 2 + 1 = 25, тобто $\frac{25}{2}$.
2. 2)Множимо дроби:
   25 · 1 = 25 і 2 · 100 = 200.
3. 3)Скорочуємо 25 і 200 на 25: виходить $\frac{1}{8}$.

Відповідь: $\frac{1}{8}$.

Приклад 8. Запиши дріб $\frac{2}{3}$ у вигляді відсотків

Розв’язання.

Усе число — це 100 %, тобто 1 = 100 %. Тому помножимо дріб на 1, а замість 1 запишемо 100 %:

Виділяємо цілу частину:
200 : 3 = 66 (остача 2). Виходить $66\frac{2}{3}$.

Через десятковий дріб тут зручно не вийде: ділення 2 : 3 не закінчується, і в частці 0,666… шістки повторюються без кінця. Множення на 100 % працює для будь-якого дробу.

Відповідь: $66\frac{2}{3}\,\%$.

Приклад 9. Запиши число 2,4 у вигляді відсотків

Розв’язання.

Десятковий дріб теж множимо на 100 %, бо 1 = 100 %:

2,4 = 2,4 · 100 % = 240 %

Щоб помножити 2,4 на 100, переносимо кому на дві цифри праворуч. Після 4 є лише одна цифра, тому дописуємо нуль:
2,4 · 100 = 240. Відповідь більша за 100 %, бо число 2,4 більше за 1.

Відповідь: 240 %.

Приклад 10. Знайди площу прямокутника

Довжина прямокутника дорівнює 36 см, а ширина становить $\frac{4}{9}$ довжини. Знайди площу прямокутника.

Розв’язання.

1. 1)Ширину шукаємо як частину довжини, тож ціле тут — довжина 36 см. Скорочуємо 36 і 9 на 9:
   36 : 9 = 4, а 4 · 4 = 16.
2. 2)Площа прямокутника дорівнює добутку довжини на ширину.

Відповідь: 576 см².

Приклад 11. Знайди, скільки залишилося

Бібліотека отримала 360 нових книжок. Бібліотекарка вже поставила на полиці $\frac{7}{12}$ з них. Скільки книжок ще треба поставити?

Розв’язання.

1. 1)Ціле — усі 360 книжок. Скорочуємо 360 і 12 на 12:
   360 : 12 = 30, а 30 · 7 = 210.
2. 2)Від усіх книжок віднімаємо ті, що вже стоять на полицях.

Перевіримо інакше. Поставили 7 частин із 12, тож залишилося 12 − 7 = 5 частин, тобто $\frac{5}{12}$ усіх книжок.

$360\cdot\frac{5}{12}=30\cdot5=150$. Відповідь та сама.

Відповідь: 150 книжок.

Приклад 12. Знайди, скільки разом

У першому ящику 24 кг яблук, а в другому — $\frac{5}{6}$ від маси яблук у першому ящику. Скільки кілограмів яблук у двох ящиках разом?

Розв’язання.

1. 1)Ціле — маса яблук у першому ящику, 24 кг. Скорочуємо 24 і 6 на 6:
   24 : 6 = 4, а 4 · 5 = 20.
2. 2)Додаємо маси яблук в обох ящиках.

Відповідь: 44 кг.

Приклад 13. Знайди масу міді у сплаві

Сплав містить 15 % міді. Скільки кілограмів міді у 64 кг сплаву?

Розв’язання.

15 % = 0,15, тому 64 · 0,15 = 9,6 (кг).

1. 1)Ціле — уся маса сплаву, 64 кг. Відсотки записуємо десятковим дробом:
   $15\,\%=\frac{15}{100}=0{,}15$.
2. 2)Множимо, не звертаючи уваги на кому:
   64 · 15 = 960. Після коми у множнику дві цифри, тому відокремлюємо дві цифри справа:
   9,60 = 9,6.

Відповідь: 9,6 кг.

Приклад 14. Розв’яжи задачу на перевиконання плану

Бригада мала відремонтувати 60 км дороги, але перевиконала план на 20 %. Скільки кілометрів дороги відремонтувала бригада?

Розв’язання.

1. 1)«Перевиконала план на 20 %» означає, що бригада зробила весь план і ще 20 % від плану. Ціле — план, 60 км. 20 % = 0,2.
2. 2)До плану додаємо те, що бригада відремонтувала понад план.

Відповідь: 72 км.

Приклад 15. Склади вираз і знайди його значення

Площа поля дорівнює $a$ га. Фермер засіяв $\frac{5}{8}$ поля. Склади вираз для площі засіяної частини і знайди його значення, якщо $a=96$.

Розв’язання.

Ціле — усе поле, $a$ га. За правилом площа засіяної частини дорівнює $a\cdot\frac{5}{8}$.

За переставною властивістю $a\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{8}\cdot a$, а перед буквою знак множення можна не писати. Тому вираз записують коротко, як у § 9: $\frac{5}{8}a$.

Якщо $a=96$, то $\frac{5}{8}\cdot96=\frac{5\cdot96}{8}=60$ (га).

Тут 96 і 8 скорочуємо на 8:
96 : 8 = 12, а 5 · 12 = 60.

Відповідь: $\frac{5}{8}a$ га; якщо $a=96$, засіяли 60 га.

Приклад 16. Знайди, скільки пройшли третього дня

За три дні туристи пройшли 72 км. Першого дня вони пройшли $\frac{3}{8}$ усього шляху, другого дня — $\frac{1}{3}$ усього шляху, а третього дня — решту. Скільки кілометрів туристи пройшли третього дня?

Розв’язання.

1. 1)Обидва дроби взято від усього шляху, тому ціле в обох діях — 72 км. Тут 72 : 8 = 9 і 9 · 3 = 27.
2. 2)Шлях другого дня:
   72 : 3 = 24.
3. 3)Решта — це те, що залишилося від усього шляху після перших двох днів.

Перевірка:
27 + 24 + 21 = 72. Три частини разом дають увесь шлях.

Відповідь: 21 км.

Приклад 17. Знайди частину від решти

У рулоні було 60 м тканини. Спочатку відрізали $\frac{2}{5}$ рулону, а потім — 0,25 решти. Скільки метрів тканини залишилося в рулоні?

Помаранчеві частини відрізали першого разу. Решту, 36 м, поділили на 4 частини, і синю відрізали другого разу. Зелені частини залишилися в рулоні.

Розв’язання.

1. 1)Перший дріб взято від усього рулону, тому ціле — 60 м. Тут 60 : 5 = 12, а 12 · 2 = 24.
2. 2)Слово «решти» означає: спершу знаходимо, скільки залишилося після першого разу.
3. 3)Тепер ціле — решта, 36 м. 0,25 — це $\frac{1}{4}$, тому 36 : 4 = 9.
4. 4)Від решти віднімаємо те, що відрізали другого разу.

Відповідь: 27 м.

Приклад 18. Порівняй 12 % від 35 і 35 % від 12

Розв’язання.

1. 1)Запишемо обидва вирази за правилом. В обох у чисельнику стоїть добуток тих самих чисел 35 і 12, а в знаменнику 100.
2. 2)Від перестановки множників добуток не змінюється, тому вирази рівні. Обчислимо:
   35 · 12 = 420, а 420 : 100 = 4,2.

Так буває завжди: $a\,\%$ від числа $b$ дорівнює $b\,\%$ від числа $a$.

Відповідь: вирази рівні, кожен дорівнює 4,2.

Приклад 19. Визнач, яке число більше

$x$ і $y$ — натуральні числа, і $\frac{3}{4}$ від $x$ дорівнює $\frac{2}{3}$ від $y$. Яке з чисел більше: $x$ чи $y$?

Розв’язання.

1. 1)Порівняємо дроби. Зведемо їх до спільного знаменника 12:
   $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$, $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$. Отже, $\frac{3}{4}$ більше за $\frac{2}{3}$.
2. 2)Від $x$ беруть більший дріб, ніж від $y$, а частини вийшли рівними. Якби числа $x$ і $y$ були рівними, частина від $x$ вийшла б більшою. Щоб частини зрівнялися, $x$ має бути меншим за $y$.

Перевіримо на числах:
нехай $x=8$ і $y=9$. Тоді $8\cdot\frac{3}{4}=6$ і $9\cdot\frac{2}{3}=6$. Частини рівні, а 9 більше за 8.

Відповідь: $y$ більше за $x$.