Ти навчишся знаходити число, коли відомо, скільки становить його частина: наприклад, $\frac{2}{7}$ числа дорівнюють 14. Розберемо звичайні й десяткові дроби, відсотки і задачі, де відомо, скільки залишилося.
Уже розв’язав вправи й не впевнений, множити чи ділити? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Звідки береться ділення
Нехай $\frac{2}{7}$ якогось числа дорівнюють 14. Знайдемо це число.
Знаменник 7 показує, що число поділили на 7 рівних частин. Чисельник 2 показує, що 14 — це дві такі частини.
Дві частини разом становлять 14, тому одна частина дорівнює 14 : 2 = 7. Усе число складається із 7 таких частин:
7 · 7 = 49.
У 5 класі таку задачу розв’язували двома діями:
14 : 2 · 7 = 49. Тепер запишемо той самий вираз інакше:
| $14:2\cdot7=\frac{14}{2}\cdot\frac{7}{1}=\frac{14\cdot7}{2\cdot1}$ |
| $=\frac{14}{1}\cdot\frac{7}{2}=14:\frac{2}{7}$ |
Частку 14 : 2 записали дробом $\frac{14}{2}$, а число 7 — дробом $\frac{7}{1}$, і перемножили дроби. Потім у добутку $\frac{14\cdot7}{2\cdot1}$ знаменники 2 і 1 поміняли місцями. Добуток знаменників від цього не змінився, тому й значення виразу те саме.
Множення на $\frac{7}{2}$ — це те саме, що ділення на обернений дріб $\frac{2}{7}$. Так ми ділили дроби в § 12.
Отже, щоб знайти число, достатньо 14 поділити на $\frac{2}{7}$:
$14:\frac{2}{7}=\frac{14\cdot7}{2}=49$.
Правило. Щоб знайти число за значенням його дробу, це значення ділять на цей дріб.
Тому такі задачі розв’язують дією ділення. Правило діє для будь-якого дробу, звичайного чи десяткового, а також для мішаного числа.
Дріб від числа чи число за дробом
У § 10 ми шукали дріб від числа, а тепер шукаємо число за його дробом. Ці задачі обернені одна до одної, тому їх легко сплутати. Порівняй їх на тих самих числах 49 і 14.
| Дріб від числа | Число за дробом | |
|---|---|---|
| Що відомо | усе число і дріб | частина і дріб |
| Що шукаємо | частину | усе число |
| Яка дія | множення | ділення |
| Приклад | $49\cdot\frac{2}{7}=14$ | $14:\frac{2}{7}=49$ |
| Прикидка | відповідь менша за дане число | відповідь більша за дане число |
Прикидка в останньому рядку правильна, коли дріб менший за 1. Частина тоді менша за все число, тому все число більше за свою частину.
Щоб вибрати дію, запитай себе: відоме число — це ціле чи лише його частина? Якщо відомо ціле, множ його на дріб. Якщо відомо частину, діли її на дріб.
Відсотки теж можна записати дробом
Один відсоток — це сота частина числа. Тому відсотки можна записати дробом: $35\,\%=\frac{35}{100}=0{,}35$. Щоб знайти число за значенням його відсотків, спершу запиши відсотки дробом, а потім поділи значення на цей дріб.
Якщо кількість відсотків записано мішаним числом, її теж ділять на 100. Це те саме, що помножити на $\frac{1}{100}$:
$3\frac{1}{3}\,\%=\frac{10}{3}\cdot\frac{1}{100}=\frac{10}{300}=\frac{1}{30}$.
Спосіб із § 2, коли значення ділять на кількість відсотків і множать на 100, теж правильний. Це те саме ділення на дріб, лише записане двома діями.
Алгоритм
Як знайти число за значенням його дробу
- Знайди в умові частину, значення якої відомо, і дріб, який вона становить. Саме це значення ми будемо ділити.
- Якщо частину задано відсотками, запиши їх дробом. Так роблять тому, що один відсоток — це сота частина числа.
- Якщо значення чи дріб записано мішаним числом, перетвори його на неправильний дріб, щоб ділити за правилом із § 12. На десятковий дріб можна ділити, як у 5 класі, або спершу записати його звичайним дробом.
- Поділи значення на дріб. Якщо дріб звичайний, помнож значення на обернений дріб. Скорочуй ще до того, як перемножиш числа, бо з меншими числами рахувати легше.
- Перевір відповідь множенням: знайди від неї той самий дріб. Має вийти значення з умови, бо саме стільки становить ця частина числа.
Розв’язані приклади
Приклад 1. Знайди місткість бочки
У порожню бочку налили 48 л води, і вода заповнила $\frac{3}{8}$ бочки. Скільки літрів уміщує вся бочка?
Бочку подумки поділено на 8 рівних частин. Три частини становлять 48 л, а скільки літрів у всіх восьми частинах, невідомо.
Розв’язання.
Відомо значення частини, 48 л, і дріб $\frac{3}{8}$. Тому ділимо:
$48:\frac{3}{8}=\frac{48\cdot8}{3}=128$ (л)
- 1)Ділення на $\frac{3}{8}$ замінюємо множенням на обернений дріб $\frac{8}{3}$. Тому 48 множимо на 8 і ділимо на 3.
- 2)Скорочуємо 48 і 3 на 3:
48 : 3 = 16. Далі 16 · 8 = 128.
Перевіримо множенням:
$128\cdot\frac{3}{8}=16\cdot3=48$. Вийшло число з умови, тож відповідь правильна.
Відповідь: 128 л.
Приклад 2. Знайди число, $2\frac{1}{4}$ якого дорівнюють 6,3
Розв’язання.
Запишемо обидва числа звичайними дробами.
Десятковий дріб:
$6{,}3=6\frac{3}{10}=\frac{63}{10}$, бо 6 · 10 + 3 = 63.
Мішане число:
$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$, бо 2 · 4 + 1 = 9.
Тепер ділимо значення на дріб:
$6{,}3:2\frac{1}{4}=\frac{63}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{63\cdot4}{10\cdot9}=\frac{14}{5}=2{,}8$
- 1)Числа 63 і 9 ділимо на 9: виходить 7 і 1.
- 2)Числа 4 і 10 ділимо на 2: виходить 2 і 5.
- 3)Залишається $\frac{7\cdot2}{5\cdot1}=\frac{14}{5}$, а $\frac{14}{5}=\frac{28}{10}=2{,}8$.
Відповідь 2,8 менша за 6,3. Так і має бути, бо дріб $2\frac{1}{4}$ більший за 1. Отже, значення 6,3 більше за все число, а саме число менше за 6,3.
Перевірка:
$2\frac{1}{4}=2{,}25$, а 2,8 · 2,25 = 6,3.
Відповідь: 2,8.
Приклад 3. Знайди число, 0,8 якого дорівнюють 36
Розв’язання.
Перший спосіб. Запишемо десятковий дріб звичайним:
$0{,}8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.
$36:\frac{4}{5}=\frac{36\cdot5}{4}=45$
Тут 36 : 4 = 9, а 9 · 5 = 45.
Другий спосіб. Поділимо на десятковий дріб, як у 5 класі. У дільнику переносимо кому на одну цифру праворуч, і в діленому теж:
36 : 0,8 = 360 : 8 = 45.
Правило працює і для десяткових дробів, тому обидва способи дають ту саму відповідь. Вибирай той, у якому легше рахувати.
Відповідь: 45.
Приклад 4. Знайди число, 35 % якого дорівнюють 21
Розв’язання.
Спершу запишемо відсотки дробом:
$35\,\%=\frac{35}{100}=0{,}35=\frac{7}{20}$.
$21:\frac{7}{20}=\frac{21\cdot20}{7}=60$, або 21 : 0,35 = 2100 : 35 = 60.
У другому способі ділимо на десятковий дріб. У дільнику 0,35 переносимо кому на дві цифри праворуч, і в діленому теж: 21 стає 2100.
- 1)Дріб $\frac{35}{100}$ скорочуємо на 5:
35 : 5 = 7 і 100 : 5 = 20. - 2)Ділимо 21 на $\frac{7}{20}$, тобто множимо на $\frac{20}{7}$:
21 : 7 = 3, а 3 · 20 = 60.
Перевірка:
60 · 0,35 = 21. Число 60 більше за 21, бо 35 % — це лише частина числа.
Відповідь: 60.
Задачі
У задачі спершу знайди частину, значення якої відомо, і дріб, який вона становить. Слова «що становить $\frac{3}{8}$ поля» чи «це 0,9 усіх учнів» підказують, що відоме число — лише частина. Тому його треба ділити на дріб.
Буває, що задача питає не про все число. Наприклад, відомо ширину прямокутника і який дріб вона становить від довжини, а знайти треба периметр. Тоді спершу знайди довжину за правилом, а потім виконай ще одну дію, щоб відповісти на запитання.
Буває, що одне й те саме значення становить частини двох різних величин. Тоді правило застосовують двічі, і значення щоразу ділять на свій дріб. Наприклад, якщо 12 становить $\frac{3}{4}$ першого числа і $\frac{2}{5}$ другого, то перше число дорівнює $12:\frac{3}{4}=16$, а друге — $12:\frac{2}{5}=30$.
Приклад 5. Знайди все число, коли відомо, скільки залишилося
Учень прочитав $\frac{5}{12}$ книжки, і йому залишилося прочитати 84 сторінки. Скільки сторінок у книжці?
Книжку поділено на 12 рівних частин. Помаранчеві частини учень уже прочитав, а зелені залишилися, і це 84 сторінки.
Розв’язання.
Число 84 — це решта, тобто те, що учень ще не прочитав. Тому спершу знайдемо, який дріб становить решта.
| 1) | $1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$ (книжки) — залишилося |
| 2) | $84:\frac{7}{12}=\frac{84\cdot12}{7}=144$ (с.) |
- 1)Уся книжка — це 1, тобто $\frac{12}{12}$. Прочитано 5 частин із 12, тому залишилося 12 − 5 = 7 частин.
- 2)84 сторінки — це $\frac{7}{12}$ книжки. Ділимо 84 на цей дріб:
84 : 7 = 12, а 12 · 12 = 144.
Перевірка:
$144\cdot\frac{5}{12}=60$ сторінок учень прочитав, і 60 + 84 = 144.
Якщо відома решта, а виконану частину задано десятковим дробом чи відсотками, спершу теж знайди дріб решти. Для цього від 1 відніми десятковий дріб, а від 100 % — кількість відсотків.
Відповідь: 144 сторінки.
Приклад 6. Знайди все число, коли відомо, на скільки залишилося більше
Майстер пофарбував $\frac{3}{8}$ паркану. Після цього йому залишилося пофарбувати на 18 м більше, ніж він уже пофарбував. Яка довжина паркану?
Паркан поділено на 8 рівних частин. Пофарбовано 3 частини, а залишилося 5. Залишилося на 2 частини більше, і ці дві сині частини становлять 18 м.
Розв’язання.
| 1) | $1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$ (паркану) — залишилося |
| 2) | $\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ (паркану) |
| 3) | $18:\frac{1}{4}=18\cdot4=72$ (м) |
- 1)Знаходимо, яку частину паркану залишилося пофарбувати.
- 2)Знаходимо, на яку частину паркану залишилося більше, ніж пофарбовано. Саме ця частина дорівнює 18 м.
- 3)Ділимо 18 на $\frac{1}{4}$, тобто множимо на 4.
Перевірка:
$72\cdot\frac{3}{8}=27$ (м) пофарбовано, 72 − 27 = 45 (м) залишилося, а 45 − 27 = 18. Різниця збіглася з умовою.
Буває, що залишилося на кілька метрів менше, ніж зроблено. Тоді виконана частина більша за решту, тому від дробу виконаної частини віднімають дріб решти.
Відповідь: 72 м.
Приклад 7. Знайди все число, коли частину взяли від решти
Першого дня туристи пройшли $\frac{1}{4}$ усього маршруту, другого дня — 0,6 решти, а третього дня — останні 18 км. Яка довжина маршруту?
Решту після першого дня поділено на 5 рівних частин. Три сині частини туристи пройшли другого дня, а дві зелені, тобто 18 км, — третього дня.
Розв’язання.
Частину 0,6 взято від решти, яка залишилася після першого дня. Тому йдемо від кінця до початку: спершу знайдемо решту, а потім увесь маршрут.
| 1) | 1 − 0,6 = 0,4 (решти) — третього дня |
| 2) | 18 : 0,4 = 180 : 4 = 45 (км) — решта |
| 3) | $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ (маршруту) — решта |
| 4) | $45:\frac{3}{4}=\frac{45\cdot4}{3}=60$ (км) |
- 1)Другого дня туристи пройшли 0,6 решти, тому на третій день лишилося 0,4 решти.
- 2)18 км — це 0,4 решти. За правилом ділимо 18 на 0,4 і знаходимо всю решту.
- 3)Решта — це те, що залишилося від маршруту після першого дня.
- 4)45 км — це $\frac{3}{4}$ маршруту. Ділимо ще раз:
45 : 3 = 15, а 15 · 4 = 60.
Перевірка:
першого дня 60 : 4 = 15 (км), а решта 60 − 15 = 45 (км). Другого дня 45 · 0,6 = 27 (км), а третього 45 − 27 = 18 (км).
Відповідь: 60 км.
Як перевірити себе
- Знайди від відповіді той самий дріб. Має вийти значення з умови, бо саме стільки становить ця частина числа. Наприклад, $14:\frac{2}{7}=49$, а $49\cdot\frac{2}{7}=14$.
- Порівняй відповідь зі значенням. Якщо дріб менший за 1, відоме значення становить лише частину числа, тому все число має вийти більшим за це значення. Якщо дріб більший за 1, число вийде меншим за значення.
- Порахуй способом із 5 класу. Поділи значення на чисельник і помнож на знаменник:
14 : 2 · 7 = 49. Це той самий вираз, що й $14:\frac{2}{7}$, тому відповідь має збігтися. - У задачі з кількома частинами пройди всю умову з відповіддю. Почни з усього числа, яке вийшло, і по черзі знайди кожну частину. Наприкінці має залишитися саме те число, яке дано в умові.
Де найчастіше помиляються
1. Помножили на дріб замість ділити
Завдання: знайти число, $\frac{3}{4}$ якого дорівнюють 24.
Неправильно
| $24\cdot\frac{3}{4}=18$ |
Правильно
| $24:\frac{3}{4}=\frac{24\cdot4}{3}$ = 32 |
Як помітити: 24 — це лише частина числа, тому саме число має бути більшим за 24, а 18 менше. Перевірка теж не сходиться:
$18\cdot\frac{3}{4}=13\frac{1}{2}$, хоча мало вийти 24.
2. Поділили на виконану частину, а відомо, скільки залишилося
Завдання: автомобіль проїхав 20 % усього шляху, і йому залишилося проїхати 240 км. Яка довжина всього шляху?
Неправильно
| 240 : 0,2 = 1200 (км) |
Правильно
| 1) | 100 % − 20 % = 80 % = 0,8 |
| 2) | 240 : 0,8 = 300 (км) |
Як помітити: пройди умову з відповіддю. Якби весь шлях був 1200 км, то 20 % від нього становили б 240 км. Тоді залишилося б 960 км, хоча в умові залишилося 240 км. Значення ділять на той дріб, який воно становить: решта — це 80 % шляху.
3. Частину решти взяли як частину всього числа
Завдання: спочатку продали $\frac{1}{3}$ усіх яблук, потім половину решти, і залишилося 20 кг. Скільки кілограмів яблук було?
Неправильно
| $1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ |
| $20:\frac{1}{6}=120$ (кг) |
Правильно
| 1) | $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ (решти) — залишилося |
| 2) | $20:\frac{1}{2}=40$ (кг) — решта |
| 3) | $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ (усіх яблук) — решта |
| 4) | $40:\frac{2}{3}$ = 60 (кг) |
Як помітити: пройди умову з відповіддю. Від 120 кг спершу продали 40 кг. Потім продали половину решти, теж 40 кг. Тоді залишилося б 40 кг, хоча в умові залишилося 20 кг. Половину брали від решти, тому й шукати спершу треба решту.
4. Поділили на кількість відсотків, не записавши їх дробом
Завдання: знайти число, 15 % якого дорівнюють 6.
Неправильно
| 6 : 15 = 0,4 |
Правильно
| 15 % = 0,15 |
| 6 : 0,15 = 600 : 15 = 40 |
Як помітити: 15 % менше за все число, тому саме число має бути більшим за 6, а 0,4 набагато менше. Відсотки спершу записують дробом, а вже потім ділять.
Спробуй сам
- Знайди число, якщо: 1) $\frac{5}{9}$ його дорівнюють 35; 2) $1\frac{3}{5}$ його дорівнюють 4,8.
- Знайди число, якщо: 1) 0,6 його дорівнюють 4,2; 2) 45 % його дорівнюють 27.
- Знайди число, $6\frac{2}{3}\,\%$ якого дорівнюють 1,5.
- У класі 12 дівчат, і це становить $\frac{3}{7}$ усіх учнів класу. Скільки хлопців у класі?
- Ширина прямокутника дорівнює 24 см, що становить 0,6 його довжини. Знайди площу прямокутника.
- Бригада відремонтувала 35 % дороги, і їй залишилося відремонтувати 52 км. Яка довжина всієї дороги?
- Три класи зібрали макулатуру. Перший клас зібрав $\frac{2}{9}$ усієї макулатури, другий — 0,4 усієї макулатури, а третій — решту, 68 кг. Скільки кілограмів макулатури зібрали три класи разом?
- Після того як Марко прочитав $\frac{7}{12}$ книжки, йому залишилося прочитати на 30 сторінок менше, ніж він уже прочитав. Скільки сторінок у книжці?
- Першого дня магазин продав $\frac{3}{8}$ усієї картоплі, другого дня — 40 % решти, а третього дня — останні 120 кг. Скільки кілограмів картоплі було в магазині?
Перевірити відповіді
- 1) 63; 2) 3.
- 1) 7; 2) 60.
- 22,5.
- 16 хлопців.
- 960 см².
- 80 км.
- 180 кг.
- 180 сторінок.
- 320 кг.
Повний розв’язок завдання 7
| 1) | $0{,}4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ |
| 2) | $\frac{2}{9}+\frac{2}{5}=\frac{10}{45}+\frac{18}{45}=\frac{28}{45}$ |
| 3) | $1-\frac{28}{45}=\frac{17}{45}$ — третій клас |
| 4) | $68:\frac{17}{45}=\frac{68\cdot45}{17}=180$ (кг) |
68 кг — це решта, тому спершу знаходимо, який дріб вона становить. Тут 68 : 17 = 4, а 4 · 45 = 180. Перевірка:
$180\cdot\frac{2}{9}=40$, 180 · 0,4 = 72, а 40 + 72 + 68 = 180.
Повний розв’язок завдання 9
| 1) | 1 − 0,4 = 0,6 (решти) — третього дня |
| 2) | 120 : 0,6 = 1200 : 6 = 200 (кг) — решта |
| 3) | $1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$ (усієї картоплі) — решта |
| 4) | $200:\frac{5}{8}=\frac{200\cdot8}{5}=320$ (кг) |
40 % = 0,4, і цю частину взято від решти. Тому спершу знаходимо решту, а потім усю картоплю. Перевірка:
$320\cdot\frac{3}{8}=120$, решта 320 − 120 = 200, другого дня 200 · 0,4 = 80, третього дня 200 − 80 = 120.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Покладіть перед дитиною 6 цукерок і скажіть, що це $\frac{2}{3}$ усіх цукерок у пакеті. Попросіть знайти, скільки цукерок було в пакеті.
Нехай вона розкладе 6 цукерок на 2 купки по 3: кожна купка становить третину. У пакеті було 3 такі купки, тобто 9 цукерок.
Потім попросіть записати те саме однією дією:
$6:\frac{2}{3}=9$. Запитайте, чому відповідь більша за 6. Хороша відповідь звучить так: 6 цукерок — лише частина цукерок, а в пакеті були всі 9.
Якщо дитина вагається, множити чи ділити, запитайте її: «Відоме число — це все чи лише частина?» Відповідь і підкаже дію.