Ти навчишся знаходити все число, коли відомо, чому дорівнюють кілька його відсотків. Розберемо задачі, де відомо, скільки залишилося, де відома різниця двох частин і де відсоток узято від іншого відсотка.
Уже розв’язав вправи, а відповідь вийшла меншою за число з умови, хоча відсотків менше за 100? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що означає «число за значенням його відсотків»
У § 1 ми знали все число і шукали його частину. Тепер усе навпаки: відомо, чому дорівнює частина, і треба знайти все число. Наприклад, відомо, що 30 % учнів класу — це 9 учнів, а скільки учнів у всьому класі, невідомо.
Розв’язуємо такі задачі через 1 %. Якщо 30 % — це 9 учнів, то 1 % у 30 разів менший:
9 : 30 = 0,3. Усе число — це 100 %, тобто у 100 разів більше, ніж 1 %:
0,3 · 100 = 30 (учнів).
Правило. Щоб знайти число за значенням його відсотків, це значення ділять на кількість відсотків і результат множать на 100.
Поділивши на кількість відсотків, ми знаходимо 1 %. Помноживши 1 % на 100, отримуємо 100 %, тобто все число.
Що відомо: ціле чи частина?
Задачі § 1 і § 2 схожі: в обох є число й кількість відсотків. Тому перед розв’язуванням постав собі одне запитання: число з умови — це все число (100 %) чи лише його частина?
| Умова | Що таке 60 | Розв’язання |
|---|---|---|
| Знайди 20 % від 60 | ціле, 100 % | 60 : 100 · 20 = 12 |
| 20 % числа дорівнюють 60. Знайди число | частина, 20 % | 60 : 20 · 100 = 300 |
Якщо відоме ціле, ділимо його на 100 і множимо на кількість відсотків. Якщо відома частина, ділимо її на кількість відсотків і множимо на 100. 20 % менше за 100 %, тому в першій задачі відповідь менша за 60, а в другій — більша.
Те саме запитання допомагає і з дробами. Коли дійдеш до § 10 і § 13, прочитай статті «Як знайти дріб від числа» і «Як знайти число за значенням його дробу».
Алгоритм
Як знайти число за значенням його відсотків
- З’ясуй, яке число з умови є частиною і скільки відсотків вона становить.
- Поділи цю частину на кількість відсотків. Так ти знайдеш, скільки становить 1 %.
- Помнож результат на 100. Вийде все число, бо все число — це 100 %.
- Перевір відповідь. Якщо відсотків менше за 100, все число має бути більшим за число з умови. Якщо відсотків більше за 100, все число має бути меншим.
Розв’язані приклади
Приклад 1. Знайди, скільки дерев у саду
У фруктовому саду 48 яблунь, що становлять 24 % усіх дерев саду. Скільки дерев у саду?
Усі дерева — це 100 %, їхню кількість треба знайти. Відома лише частина: 48 яблунь становлять 24 %.
Розв’язання.
| 1) | 48 : 24 = 2 (дер.) — це 1 % усіх дерев |
| 2) | 2 · 100 = 200 (дер.) — це 100 %, тобто всі дерева |
Коротше можна записати одним виразом:
48 : 24 · 100 = 200.
Відповідь: 200 дерев.
За тим самим правилом розв’язують задачі, де відсотки записано десятковим дробом. Якщо 6,5 % числа дорівнюють 13, то ділимо на десятковий дріб:
13 : 6,5 = 2, а 2 · 100 = 200.
Відсотків буває й більше за 100. Тоді дане число більше за все число, бо воно містить усе число і ще частину. Якщо бригада зібрала 54 т зерна, і це 120 % плану, то план дорівнює:
54 : 120 · 100 = 45 (т).
Якщо величину записано двома одиницями, спершу запиши її однією. Наприклад, 2 т 400 кг = 2400 кг.
Приклад 2. Знайди весь маршрут, коли відомо, скільки залишилося
Туристи пройшли 65 % маршруту, і їм залишилося пройти ще 7 км. Яка довжина всього маршруту?
Помаранчеву частину маршруту туристи вже пройшли. Зелену частину, 7 км, їм ще треба пройти.
Розв’язання.
| 1) | 100 % − 65 % = 35 % — залишилося пройти |
| 2) | 7 : 35 = 0,2 (км) — це 1 % маршруту |
| 3) | 0,2 · 100 = 20 (км) — увесь маршрут |
Число 7 км стосується тієї частини, яку туристи ще не пройшли. Тому спершу знаходимо, скільки відсотків становить ця частина, і ділимо 7 саме на 35, а не на 65.
Якщо питають ще й про пройдену частину, від усього маршруту віднімають залишок:
20 − 7 = 13 (км).
Відповідь: 20 км.
Так само розв’язують задачі про сушіння. Якщо під час сушіння продукт втрачає 80 % маси, то сушений продукт становить 100 % − 80 % = 20 % маси свіжого. Тому масу сушеного продукту ділять на 20 і множать на 100.
Буває, що від цілого кілька разів забирали різні частини: спершу 30 %, а потім ще 45 %. Тоді спершу відніми від 100 % усі ці відсотки:
100 % − 30 % − 45 % = 25 %. Отже, залишок становить 25 %.
«Швидкі» відсотки у зворотний бік
У § 1 ми знали, що 25 % — це чверть числа, а 50 % — половина. Тепер це допомагає рахувати навпаки. Якщо чверть числа відома, то все число в 4 рази більше, бо в цілому чотири чверті.
Приклад 3. Знайди число за його 25 % двома способами
У порожній акваріум налили 30 л води. Це 25 % того, скільки води вміщує акваріум. Скільки літрів води вміщує акваріум?
Розв’язання.
Перший спосіб (через 1 %).
30 : 25 · 100 = 1,2 · 100 = 120 (л)
Другий спосіб (через «швидкі» відсотки). 25 % — це чверть, тож 30 л — це чверть акваріума. Увесь акваріум у 4 рази більший:
30 · 4 = 120 (л)
Обидва способи дають ту саму відповідь. Другий коротший, бо помножити на 4 легше, ніж ділити на 25.
Відповідь: 120 л.
У таблиці показано, як знайти все число, якщо різні відсотки дорівнюють 30.
| 30 — це | Як знайти все число | Усе число |
|---|---|---|
| 1 % | помножити на 100 | 3000 |
| 10 % | помножити на 10 | 300 |
| 25 % | помножити на 4 | 120 |
| 50 % | помножити на 2 | 60 |
| 75 % | поділити на 3 і помножити на 4 | 40 |
10 % — це десята частина числа, бо 10 % · 10 = 100 %. Тому все число в 10 разів більше за свої 10 %.
75 % — це три чверті числа. Поділивши 30 на 3, знаходимо одну чверть, тобто 10. Усе число — чотири чверті, тому 10 · 4 = 40.
Складніші задачі
У складніших задачах число з умови не завжди є тією частиною, про яку сказано у відсотках. Тоді спершу з’ясуй, скільки відсотків становить саме це число.
Приклад 4. Знайди всіх дітей, коли відома різниця
У шаховому гуртку хлопці становлять 60 % усіх дітей, а решта — дівчата. Дівчат на 8 менше, ніж хлопців. Скільки дітей у гуртку?
Кожна клітинка — 10 % усіх дітей. Хлопців на дві клітинки більше, ніж дівчат, і саме ці дві клітинки дорівнюють 8 дітям.
Розв’язання.
| 1) | 100 % − 60 % = 40 % — дівчата |
| 2) | 60 % − 40 % = 20 % — на стільки хлопців більше |
| 3) | 8 : 20 · 100 = 40 (дітей) |
- 1)Дівчата — це решта дітей, тому від 100 % віднімаємо відсотки хлопців.
- 2)Число 8 показує, на скільки хлопців більше. Тому знаходимо, на скільки відсотків їх більше.
- 3)Тепер відомо, що 20 % дітей — це 8 дітей. Далі діємо за правилом.
Перевіримо: хлопців 40 : 100 · 60 = 24, дівчат 40 − 24 = 16, і справді 24 − 16 = 8.
Відповідь: 40 дітей.
Приклад 5. Знайди число, коли відсоток узято від відсотка
У бібліотеці 40 % усіх книжок художні, а серед художніх книжок 15 % становлять казки. Казок у бібліотеці 90. Скільки всього книжок у бібліотеці?
На верхній смужці зображено всі книжки, 40 % з яких художні. На нижній смужці художні книжки розтягнуто на всю ширину: тепер вони становлять 100 %, а казки — 15 % від них.
Розв’язання.
| 1) | 90 : 15 · 100 = 600 (кн.) — художні |
| 2) | 600 : 40 · 100 = 1500 (кн.) — усі |
- 1)15 % узято лише від художніх книжок. Тому спершу за числом казок знаходимо, скільки художніх книжок.
- 2)Тепер художні книжки самі стали частиною: вони становлять 40 % усіх книжок. Ще раз діємо за правилом.
Якщо поділити 90 одразу на 15 і помножити на 100, вийде лише кількість художніх книжок. Тому в таких задачах правило застосовують двічі. Спершу знаходять художні книжки, від яких узято другий відсоток, а потім усі книжки.
Відповідь: 1500 книжок.
Як перевірити себе
- Порівняй відповідь із числом з умови. Якщо відсотків менше за 100, все число має бути більшим за дану частину. Якщо відсотків більше за 100, все число буде меншим. Так буває тому, що 100 % — це все число, а коли відсотків менше за 100, в умові дано лише його частину. А коли відсотків більше за 100, дане число містить усе число і ще частину.
- Зроби перевірку правилом § 1. Знайди від своєї відповіді ту кількість відсотків, що є в умові. Має вийти число з умови. Наприклад, якщо 40 % числа дорівнюють 18 і ти отримав 45, перевір:
45 : 100 · 40 = 18. - У задачі із залишком додай частини. Те, що вже використали, разом із залишком має дорівнювати знайденому числу. Так буває тому, що разом ці частини становлять 100 %.
Де найчастіше помиляються
1. Знайшли відсотки від числа з умови, а треба було знайти все число
Завдання: 30 % числа дорівнюють 12. Знайди це число.
Неправильно
| 12 : 100 · 30 = 3,6 |
Правильно
| 12 : 30 · 100 = 0,4 · 100 = 40 |
Як помітити: 12 — це лише 30 % числа, тобто частина. Ціле має бути більшим за свою частину, а 3,6 менше за 12.
2. Залишок поділили на відсоток того, що вже використали
Завдання: зі складу вивезли 80 % мішків борошна, і там залишилося 12 мішків. Скільки мішків борошна було на складі?
Неправильно
| 12 : 80 · 100 = 15 (мішків) |
Правильно
| 1) | 100 % − 80 % = 20 % — залишилося |
| 2) | 12 : 20 · 100 = 60 (мішків) |
Як помітити: якби на складі було 15 мішків, то вивезли б 15 − 12 = 3 мішки. Проте 80 % від 15 мішків дорівнюють 15 : 100 · 80 = 12 мішкам. Отже, числа не сходяться.
3. Помилилися з комою під час ділення на десятковий дріб
Завдання: 2,5 % числа дорівнюють 4. Знайди це число.
Неправильно
| 4 : 2,5 = 0,16 |
| 0,16 · 100 = 16 |
Правильно
| 4 : 2,5 = 40 : 25 = 1,6 |
| 1,6 · 100 = 160 |
Щоб поділити на 2,5, переносимо кому на одну цифру праворуч у дільнику й у діленому:
4 : 2,5 = 40 : 25. Частка від цього не змінюється.
Як помітити: перевір ділення множенням. Оскільки 2,5 · 0,16 = 0,4, частку знайдено неправильно: добуток мав дорівнювати 4. Правильна частка — 1,6, бо 2,5 · 1,6 = 4.
4. Різницю прийняли за одну з частин
Завдання: у саду 70 % дерев — яблуні, а решта — груші. Груш на 12 менше, ніж яблунь. Скільки дерев у саду?
Неправильно
| 1) | 100 % − 70 % = 30 % |
| 2) | 12 : 30 · 100 = 40 (дер.) |
Правильно
| 1) | 100 % − 70 % = 30 % — груші |
| 2) | 70 % − 30 % = 40 % — різниця |
| 3) | 12 : 40 · 100 = 30 (дер.) |
Як помітити: число 12 показує, на скільки груш менше, а не скільки їх. Тому його ділять на різницю відсотків.
Спробуй сам
- Знайди число: 1) 1 % якого дорівнює 7; 2) 15 % якого дорівнюють 3; 3) 35 % якого дорівнюють 14.
- Знайди число: 1) 2,4 % якого дорівнюють 6; 2) 0,5 % якого дорівнюють 0,3; 3) 125 % якого дорівнюють 40.
- З насіння соняшнику отримують 40 % олії. Скільки насіння потрібно, щоб отримати 1 т 200 кг олії?
- Під час сушіння гриби втрачають 90 % своєї маси. Скільки кілограмів свіжих грибів потрібно, щоб отримати 3 кг сушених?
- За три дні магазин продав усі кавуни. Першого дня продали 30 % кавунів, другого — 45 %, а третього — решту, 150 кг. Скільки кілограмів кавунів було в магазині?
- Знайди усно число: 1) 50 % якого дорівнюють 17; 2) 25 % якого дорівнюють 9; 3) 10 % якого дорівнюють 4,2.
- Ширина прямокутника дорівнює 6 см, що становить 40 % його довжини. Знайди периметр прямокутника.
- Хлопці становлять 45 % учнів класу, а дівчат на 3 більше, ніж хлопців. Скільки учнів у класі?
- Марко зібрав 80 горіхів. Тарас зібрав 45 % від кількості горіхів Марка, і це 60 % від кількості горіхів Івана. Скільки горіхів зібрав Іван?
- У школі 80 % учнів відвідують гуртки, а з них 25 % — спортивні. На спортивні гуртки ходять 120 учнів. Скільки учнів у школі?
Перевірити відповіді
- 1) 700; 2) 20; 3) 40.
- 1) 250; 2) 60; 3) 32.
- 3000 кг, тобто 3 т.
- 30 кг.
- 600 кг.
- 1) 34; 2) 36; 3) 42.
- 42 см.
- 30 учнів.
- 60 горіхів.
- 600 учнів.
Повний розв’язок завдання 5
| 1) | 100 % − 30 % − 45 % = 25 % — третього дня |
| 2) | 150 · 4 = 600 (кг) |
Решта, 150 кг, становить 25 %, тобто чверть усіх кавунів. Тому все число в 4 рази більше. За правилом вийде те саме: 150 : 25 · 100 = 600.
Повний розв’язок завдання 9
| 1) | 80 : 100 · 45 = 36 (горіхів) — зібрав Тарас |
| 2) | 36 : 60 · 100 = 60 (горіхів) — зібрав Іван |
У першій дії 80 горіхів — ціле, тому шукаємо відсотки від числа, як у § 1. У другій дії 36 горіхів — лише частина горіхів Івана, тому ділимо на 60 і множимо на 100.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Запитайте дитину: «Якщо в класі 30 учнів, то скільки учнів становлять 10 %?» Потім запитайте навпаки: «Якщо 10 % класу — це 3 учні, скільки учнів у класі?»
Правильні відповіді — 3 і 30. Якщо дитина розв’язує обидві задачі однаково, попросіть її спершу сказати, яке число в умові є всім класом, а яке лише частиною.