Ти навчишся обчислювати вирази, у яких разом стоять звичайні дроби, мішані числа й десяткові дроби, і вибирати для кожної дії зручну форму запису. Розберемо також рівняння і задачі на частини, рух і спільну роботу.
Уже розв’язав вправи, а відповідь вийшла дивна? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що треба пам’ятати
У § 14 немає нових правил. Тут потрібно все, що ти вже вмієш робити з дробами, і ще вміння переходити від однієї форми запису до іншої.
- Порядок дій той самий, що й для натуральних чисел. Спершу виконують дії в дужках, потім степені, потім множення й ділення зліва направо, а наостанок додавання й віднімання. Дроби — теж числа, тому правила порядку дій для них не змінюються.
- Квадрат і куб дробу — це добуток двох чи трьох однакових дробів. Тому чисельник і знаменник підносять до степеня окремо:
$\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3}=\frac{8}{27}$. - Десятковий дріб можна записати звичайним. Ціла частина лишається, а цифри після коми стають чисельником дробової частини. У знаменнику пишуть 1 і стільки нулів, скільки цифр стоїть після коми. Потім дріб скорочують:
$3{,}5=3\frac{5}{10}=3\frac{1}{2}$ і $0{,}35=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}$. - Відсотки теж можна записати дробом, бо один відсоток — це сота частина числа:
$30\,\%=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}=0{,}3$. - Звичайний дріб можна записати десятковим, якщо його знаменник вдається звести до 10, 100, 1000 і так далі:
$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0{,}6$. Буває, що так звести знаменник не вдається. Тоді десятковий дріб вийде нескінченним, і про такі дроби мова піде нижче. - Перед множенням і діленням мішане число записують неправильним дробом, бо правила множення й ділення сформульовано для звичайних дробів:
$1\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$, бо 1 · 5 + 3 = 8. - Дробова риска між двома виразами означає ділення. Тому спершу окремо обчислюють чисельник і знаменник, а потім значення чисельника ділять на значення знаменника.
- Якщо у виразі є букви, спершу підстав замість них дані числа. Між числом і буквою знак множення не пишуть. Після підстановки його треба поставити:
якщо $b=\frac{8}{15}$, то $\frac{3}{4}b=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{15}$.
Алгоритм
Як обчислити вираз зі звичайними й десятковими дробами
- Визнач, у якому порядку виконуватимеш дії, і пронумеруй їх. Так ти не помножиш раніше, ніж обчислиш дужки.
- Перед кожною дією запиши обидва її числа в одній формі: обома звичайними дробами або обома десятковими. Тоді дію виконують за одним правилом: або для звичайних дробів, або для десяткових. Натуральне число, наприклад 2, переписувати не треба: воно підходить до обох форм.
- Подивись на знаменник кожного звичайного дробу після скорочення. Якщо в ньому є множник 3, 7 чи інший, крім 2 і 5, рахуй у звичайних дробах. Десятковий дріб тут вийшов би нескінченним, а округлений дав би неточну відповідь.
- Результат кожної дії запиши в тій формі, у якій зручно виконувати наступну дію.
- Перевір відповідь прикидкою: заміни числа близькими круглими й порахуй усно. Відповідь має вийти близькою до прикидки.
Розв’язані приклади
Приклад 1. Обчисли значення виразу $\left(\frac{3}{4}\right)^2\cdot\left(3{,}2-1\frac{1}{5}\right)+0{,}75$
Розв’язання.
Спершу виконуємо дію в дужках, потім степінь, потім множення, а наостанок додавання.
| 1) | $3{,}2-1\frac{1}{5}=3{,}2-1{,}2=2$ |
| 2) | $\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3\cdot3}{4\cdot4}=\frac{9}{16}$ |
| 3) | $\frac{9}{16}\cdot2=\frac{9\cdot2}{16}=\frac{9}{8}$ |
| 4) | $\frac{9}{8}+0{,}75=\frac{9}{8}+\frac{6}{8}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$ |
- 1)У дужках $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}=0{,}2$, тому $1\frac{1}{5}=1{,}2$. Віднімати десяткові дроби легше: спільного знаменника шукати не треба.
- 2)Квадрат дробу — це добуток двох однакових дробів, тому чисельник і знаменник множимо самі на себе.
- 3)Множимо дріб на 2 і скорочуємо 2 і 16 на 2. Добуток лишаємо звичайним дробом: доданок 0,75 теж легко записати звичайним дробом, і додавати восьмі частини просто.
- 4)Тепер $\frac{9}{8}$ треба додати до 0,75. Запишемо 0,75 звичайним дробом:
$0{,}75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$. Дроби мають однаковий знаменник, і ми додаємо чисельники.
Відповідь: $1\frac{7}{8}$.
Приклад 2. Обчисли двома способами $4{,}25\cdot1\frac{3}{5}$
Розв’язання.
Перший спосіб: звичайні дроби. Запишемо десятковий дріб мішаним числом, а потім неправильним дробом:
$4{,}25=4\frac{25}{100}=4\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$. Мішане число теж запишемо неправильним дробом:
$1\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$.
$\frac{17}{4}\cdot\frac{8}{5}=\frac{17\cdot8}{4\cdot5}=\frac{34}{5}=6\frac{4}{5}$
Перед множенням скорочуємо 8 і 4 на 4:
8 : 4 = 2, тому в чисельнику залишається 17 · 2 = 34.
Другий спосіб: десяткові дроби. Запишемо мішане число десятковим дробом:
$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0{,}6$, тому $1\frac{3}{5}=1{,}6$.
4,25 · 1,6 = 6,8
Відповіді однакові, бо $6\frac{4}{5}=6\frac{8}{10}=6{,}8$. Число не змінюється від того, як його записано, тому обидва способи мусять дати те саме.
Відповідь: $6\frac{4}{5}$, або 6,8.
Яку форму запису вибрати
Обидва способи з прикладу 2 правильні, але один часто буває коротшим. Ось три поради.
- Додавати й віднімати зручно десяткові дроби, бо не треба шукати спільний знаменник. Це вигідно, коли обидва числа легко записати десятковими.
- Множити й ділити зручно звичайні дроби, бо можна скоротити ще до того, як перемножиш числа.
- Якщо в знаменнику нескоротного дробу є множник 3, 7 чи інший, крім 2 і 5, рахуй у звичайних дробах. Такий дріб записується лише нескінченним десятковим дробом, а з ним рахувати незручно.
Перші дві поради не є заборонами. Якщо одне з чисел уже записано звичайним дробом, а друге легко записати так само, додавати можна і у звичайних дробах.
Звичайний дріб записується скінченним десятковим, лише якщо знаменник нескоротного дробу розкладається тільки на множники 2 і 5. Такі знаменники — 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50. Ти знаєш це з § 7.
Якщо ж у знаменнику є множник 3 чи 7, наприклад 6 = 2 · 3, десятковий дріб вийде нескінченним періодичним. Тоді працюй зі звичайними дробами, навіть коли дія — додавання.
Приклад 3. Обчисли $2\frac{1}{6}-1{,}25$
Розв’язання.
Знаменник 6 = 2 · 3 має множник 3. Тому $\frac{1}{6}=0{,}1666…=0{,}1(6)$: цифра 6 повторюється без кінця.
Рахувати з таким дробом незручно, бо його цифри не закінчуються. Тому запишемо 1,25 звичайним дробом:
$1{,}25=1\frac{25}{100}=1\frac{1}{4}$.
| $2\frac{1}{6}-1\frac{1}{4}=2\frac{2}{12}-1\frac{3}{12}$ |
| $=1\frac{14}{12}-1\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$ |
- 1)Зводимо дробові частини до спільного знаменника 12. Додаткові множники — 2 для $\frac{1}{6}$ і 3 для $\frac{1}{4}$.
- 2)Від $\frac{2}{12}$ не можна відняти $\frac{3}{12}$. Тому позичаємо одиницю в цілої частини:
$2\frac{2}{12}=1+1\frac{2}{12}=1\frac{14}{12}$, бо 12 + 2 = 14. - 3)Віднімаємо окремо цілі частини й окремо дробові:
1 − 1 = 0, а $\frac{14}{12}-\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$.
Відповідь: $\frac{11}{12}$.
Рівняння
Рівняння з дробами розв’язують так само, як із натуральними числами: шукають невідомий компонент дії. Ось як знайти кожен із них.
| Невідомий компонент | Як його знайти |
|---|---|
| доданок | від суми відняти відомий доданок |
| зменшуване | до різниці додати від’ємник |
| від’ємник | від зменшуваного відняти різницю |
| множник | добуток поділити на відомий множник |
| ділене | частку помножити на дільник |
| дільник | ділене поділити на частку |
Якщо дій кілька, починають з тієї, яку виконують останньою. Так само розв’язують і задачі «якщо невідоме число збільшити в кілька разів, а потім додати…». Спершу запиши їх рівнянням, а потім іди від останньої дії до першої.
Приклад 4. Розв’яжи рівняння $1\frac{1}{2}\left(x-\frac{2}{3}\right)+0{,}5=3\frac{1}{4}$
Розв’язання.
Остання дія в лівій частині — додавання числа 0,5. Тому добуток $1\frac{1}{2}\left(x-\frac{2}{3}\right)$ — невідомий доданок.
| $1\frac{1}{2}\left(x-\frac{2}{3}\right)=3\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=2\frac{3}{4}$ |
| $x-\frac{2}{3}=2\frac{3}{4}:1\frac{1}{2}=\frac{11}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{11}{6}$ |
| $x=\frac{11}{6}+\frac{2}{3}=\frac{11}{6}+\frac{4}{6}=\frac{15}{6}=2\frac{1}{2}$ |
- 1)Щоб знайти невідомий доданок, від суми віднімаємо відомий доданок. Рахуємо у звичайних дробах, бо далі ділитимемо на $1\frac{1}{2}$. Тут $0{,}5=\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, а від $\frac{1}{4}$ не можна відняти $\frac{2}{4}$. Тому позичаємо одиницю:
$3\frac{1}{4}-\frac{2}{4}=2\frac{5}{4}-\frac{2}{4}=2\frac{3}{4}$. - 2)Тепер дужка $\left(x-\frac{2}{3}\right)$ — невідомий множник. Щоб його знайти, добуток ділимо на відомий множник $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Ділення замінюємо множенням на обернений дріб $\frac{2}{3}$.
- 3)Тепер $x$ — невідоме зменшуване. Щоб його знайти, до різниці додаємо від’ємник. Дріб $\frac{15}{6}$ скорочуємо на 3 і отримуємо $\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$.
Перевірка. Підставимо $x=2\frac{1}{2}$ і виконаємо дії лівої частини по черзі:
| 1) | $2\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=2\frac{3}{6}-\frac{4}{6}=1\frac{9}{6}-\frac{4}{6}$ |
| $=1\frac{5}{6}=\frac{11}{6}$ | |
| 2) | $\frac{11}{6}\cdot\frac{3}{2}=\frac{11}{4}=2\frac{3}{4}$ |
| 3) | $2\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=3\frac{1}{4}$ |
Вийшла права частина рівняння, тож корінь знайдено правильно.
Відповідь: $2\frac{1}{2}$.
Приклад 5. Розв’яжи рівняння $3\frac{1}{4}x-1{,}5x=4\frac{3}{8}$
Розв’язання.
У лівій частині два доданки, і в кожному є множник $x$. За розподільною властивістю множення $ac-bc=(a-b)c$. Тут $c=x$, тому винесемо $x$ за дужки:
$3\frac{1}{4}x-1{,}5x=\left(3\frac{1}{4}-1{,}5\right)x$.
| $\left(3\frac{1}{4}-1{,}5\right)x=4\frac{3}{8}$ |
| $1{,}75x=4\frac{3}{8}$ |
| $x=\frac{35}{8}:\frac{7}{4}=\frac{35\cdot4}{8\cdot7}=\frac{5}{2}=2{,}5$ |
- 1)У дужках віднімаємо десяткові дроби: $3\frac{1}{4}=3{,}25$, а 3,25 − 1,5 = 1,75.
- 2)Тепер $x$ — невідомий множник, і ми ділимо добуток на відомий множник. Ділення зручніше у звичайних дробах:
$1{,}75=\frac{7}{4}$ і $4\frac{3}{8}=\frac{35}{8}$. - 3)Скорочуємо 35 і 7 на 7, а 4 і 8 на 4. Залишається $\frac{5}{2}$.
Перевірка:
3,25 · 2,5 = 8,125, 1,5 · 2,5 = 3,75, а 8,125 − 3,75 = 4,375. Це і є $4\frac{3}{8}$.
Відповідь: 2,5.
Задачі
У задачах параграфа знову трапляються всі дії з дробами. Яку дію виконати, часто підказують слова умови.
| Слова в умові | Дія | Приклад |
|---|---|---|
| збільш на $\frac{1}{4}$ | додавання | $2\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2\frac{3}{4}$ |
| зменш на $\frac{1}{4}$ | віднімання | $2\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=2\frac{1}{4}$ |
| збільш у $1\frac{1}{2}$ раза | множення | $2\cdot1\frac{1}{2}=3$ |
| зменш у $1\frac{1}{2}$ раза; у $1\frac{1}{2}$ раза менша | ділення | $3:1\frac{1}{2}=2$ |
| $\frac{3}{5}$ від 40 | множення | $40\cdot\frac{3}{5}=24$ |
| 24 — це $\frac{3}{5}$ числа | ділення | $24:\frac{3}{5}=40$ |
| на скільки 40 більше за 24 | віднімання | 40 − 24 = 16 |
| у скільки разів 40 більше за 24 | ділення | $40:24=1\frac{2}{3}$ |
| 20 хв, а швидкість у км/год | хвилини ділимо на 60 | $\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$ (год) |
Відповідь «у скільки разів» записують звичайним дробом, як у таблиці: $1\frac{2}{3}$. Десятковим дробом її пишуть лише тоді, коли в умові сказано округлити, наприклад до сотих, як у § 8:
40 : 24 = 1,666… ≈ 1,67.
Множення на число, більше за 1, збільшує будь-яке число, крім нуля, а ділення на таке число зменшує його. З дробом, меншим за 1, усе навпаки: множення на нього зменшує число, а ділення збільшує. Наприклад, $2:\frac{4}{5}=2\frac{1}{2}$, і це більше за 2.
Коли двоє рухаються назустріч, за кожну годину відстань між ними зменшується на суму їхніх швидкостей. Тому відстань між ними на початку дорівнює сумі швидкостей, помноженій на час до зустрічі.
Якщо площу треба записати в гектарах, пам’ятай, що 1 га = 10 000 м². Тому квадратні метри ділять на 10 000.
Буває, що з двох мішків продали порівну, і відомо, скільки залишилося в кожному. Тоді різниця між масами картоплі в мішках не змінилася.
Наприклад, у мішках було 30 кг і 10 кг, з кожного продали по 2 кг, і залишилося 28 кг і 8 кг. Різниця і до продажу, і після дорівнює 20 кг.
Знаючи суму і різницю двох чисел, знаходять більше число:
(сума + різниця) : 2. Якщо до суми додати різницю, менше число ніби зрівняється з більшим, і вийде два однакові більші числа.
Приклад 6. Знайди все число, коли частину взяли від решти
Першого дня магазин продав $\frac{1}{4}$ усіх яблук, а другого дня — $\frac{2}{5}$ решти. Після цього залишилося 54 кг яблук. Скільки кілограмів яблук було в магазині спочатку?
Розв’язання.
Усі яблука приймемо за 1. Другого дня продали частину не від усіх яблук, а від решти. Тому спершу знайдемо, яку частину всіх яблук продали другого дня.
| 1) | $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ (усіх яблук) — решта |
| 2) | $\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{10}$ (усіх яблук) — другого дня |
| 3) | $1-\frac{1}{4}-\frac{3}{10}=\frac{20}{20}-\frac{5}{20}-\frac{6}{20}$ |
| $=\frac{9}{20}$ (усіх яблук) — залишилося | |
| 4) | $54:\frac{9}{20}=\frac{54\cdot20}{9}=120$ (кг) |
- 1)Після першого дня залишилося $\frac{3}{4}$ усіх яблук.
- 2)Другого дня продали $\frac{2}{5}$ від цієї решти. Щоб знайти дріб від дробу, дроби множимо.
- 3)Від усіх яблук віднімаємо обидві продані частини. Спільний знаменник — 20.
- 4)54 кг становлять $\frac{9}{20}$ усіх яблук. Щоб знайти все число за значенням його дробу, значення ділимо на дріб:
54 : 9 = 6, а 6 · 20 = 120.
Перевірка:
першого дня продали 120 : 4 = 30 (кг), решта 120 − 30 = 90 (кг). Другого дня продали $90\cdot\frac{2}{5}=36$ (кг), і залишилося 90 − 36 = 54 (кг).
Буває, що обидві частини взято від усього числа, а відома решта. Тоді спершу від 1 віднімають обидва дроби:
$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$. Далі решту ділять на цей дріб.
Відповідь: 120 кг.
Приклад 7. Знайди швидкість, коли час дано у хвилинах
Автобус за 40 хв проїхав 34 км. Знайди швидкість автобуса в кілометрах за годину.
Розв’язання.
Швидкість потрібна в км/год, тому час записуємо в годинах. У годині 60 хвилин, тому 40 хв — це $\frac{40}{60}$ години.
| 1) | 40 хв = $\frac{40}{60}$ год = $\frac{2}{3}$ год |
| 2) | $34:\frac{2}{3}=\frac{34\cdot3}{2}=51$ (км/год) |
- 1)Дріб $\frac{40}{60}$ скорочуємо на 20. Десятковим дробом $\frac{2}{3}$ не записати, тому лишаємо звичайний.
- 2)Щоб знайти швидкість, відстань ділимо на час:
34 : 2 = 17, а 17 · 3 = 51.
Перевірка:
$51\cdot\frac{2}{3}=34$ (км).
Якщо ж відома швидкість, а треба знайти відстань, наприклад, за 45 хв, швидкість множать на $\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$ години.
Відповідь: 51 км/год.
Приклад 8. Знайди середню швидкість
Велосипедист 2 год їхав зі швидкістю $15\frac{3}{4}$ км/год, а потім ще 1 год — зі швидкістю $12\frac{1}{2}$ км/год. Знайди середню швидкість велосипедиста на всьому шляху.
Розв’язання.
Середня швидкість показує, скільки кілометрів у середньому велосипедист проїжджав за кожну годину. Тому весь шлях ділимо на весь час руху.
| 1) | $15\frac{3}{4}\cdot2=\frac{63}{4}\cdot2=31\frac{1}{2}$ (км) |
| 2) | $12\frac{1}{2}\cdot1=12\frac{1}{2}$ (км) |
| 3) | $31\frac{1}{2}+12\frac{1}{2}=44$ (км) — увесь шлях |
| 4) | 2 + 1 = 3 (год) — увесь час |
| 5) | $44:3=14\frac{2}{3}$ (км/год) |
Середня швидкість лежить між двома швидкостями, але ближче до $15\frac{3}{4}$ км/год. Так і має бути: з цією швидкістю велосипедист їхав довше.
Відповідь: $14\frac{2}{3}$ км/год.
Приклад 9. Знайди час спільної роботи
Басейн наповнюють три труби. Сама лише перша труба наповнює його за 4 год, друга — за 6 год, а третя — за 12 год. За скільки годин наповнять басейн три труби разом?
Розв’язання.
Увесь басейн приймемо за 1. Перша труба за 1 год наповнює $\frac{1}{4}$ басейну, друга — $\frac{1}{6}$, а третя — $\frac{1}{12}$.
| 1) | $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}$ |
| $=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ (басейну) — за 1 год разом | |
| 2) | $1:\frac{1}{2}=2$ (год) |
- 1)Додаємо частини, які труби наповнюють за 1 год. Спільний знаменник — 12.
- 2)За 1 год три труби разом наповнюють половину басейну. Щоб дізнатися, скільки годин треба на весь басейн, ділимо 1 на цю частину.
Перевірка:
за 2 год три труби наповнять $2\cdot\frac{1}{2}=1$, тобто весь басейн.
Відповідь: за 2 год.
Як перевірити себе
- Зроби прикидку. Заміни числа близькими круглими і порахуй усно. Наприклад, $4{,}25\cdot1\frac{3}{5}$ близьке до 4 · 1,5 = 6. Відповідь 6,8 правдоподібна, а 68 чи 0,68 — ні: так буває, коли помилилися з комою.
- Порахуй другим способом. Якщо всі дроби можна записати скінченними десятковими, обчисли вираз і в звичайних, і в десяткових дробах. Число не залежить від форми запису, тому відповіді мають збігтися.
- Підстав корінь у рівняння. Обчисли ліву частину з тим числом, яке вийшло. Має вийти права частина, бо корінь рівняння — це число, яке перетворює рівняння на правильну рівність.
- Перевір одиниці в задачі. Якщо швидкість у км/год, а час у хвилинах, спершу запиши час у годинах. Інакше відповідь вийде неправильною.
Де найчастіше помиляються
1. Збільшили на число, а треба було збільшити в стільки разів
Завдання: збільш число $2\frac{1}{2}$ у $1\frac{1}{2}$ раза.
Неправильно
| $2\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}=4$ |
Правильно
| $2\frac{1}{2}\cdot1\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{15}{4}$ |
| = $3\frac{3}{4}$ |
Як помітити: перечитай умову. Слова «на $1\frac{1}{2}$» означають додавання, а слова «у $1\frac{1}{2}$ раза» — множення.
2. Хвилини записали після коми, ніби в годині 100 хвилин
Завдання: пішохід за 15 хв пройшов 1,2 км. Знайди його швидкість у км/год.
Неправильно
| 15 хв = 0,15 год |
| 1,2 : 0,15 = 8 (км/год) |
Правильно
| 15 хв = $\frac{15}{60}$ год = $\frac{1}{4}$ год = 0,25 год |
| 1,2 : 0,25 = 120 : 25 = 4,8 (км/год) |
Як помітити: у годині 60 хвилин, тому 15 хв — це $\frac{15}{60}$ години. Перевір відповідь: за чверть години зі швидкістю 8 км/год пішохід пройшов би 2 км. У задачі ж він пройшов 1,2 км.
3. Дріб із періодом округлили, і відповідь вийшла неточною
Завдання: обчисли $\frac{1}{3}+0{,}5$.
Неправильно
| $\frac{1}{3}\approx0{,}33$ |
| 0,33 + 0,5 = 0,83 |
Правильно
| $0{,}5=\frac{1}{2}$ |
| $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=$ $\frac{5}{6}$ |
Як помітити: знаменник 3 не розкладається на множники 2 і 5, тому $\frac{1}{3}$ не записується скінченним десятковим дробом. Округлене число 0,33 менше за $\frac{1}{3}$, тому й сума вийшла меншою за правильну.
4. Додали швидкості й поділили на 2, хоча час руху різний
Завдання: пішохід 1 год ішов зі швидкістю 6 км/год, а потім 2 год — зі швидкістю $4\frac{1}{2}$ км/год. Знайди середню швидкість.
Неправильно
| $\left(6+4\frac{1}{2}\right):2=5\frac{1}{4}$ (км/год) |
Правильно
| 1) | 6 · 1 = 6 (км) |
| 2) | $4\frac{1}{2}\cdot2=9$ (км) |
| 3) | (6 + 9) : (1 + 2) = 15 : 3 = 5 (км/год) |
Як помітити: помнож середню швидкість на весь час. За 3 год зі швидкістю $5\frac{1}{4}$ км/год пішохід пройшов би $15\frac{3}{4}$ км, а насправді пройшов 15 км.
Спробуй сам
- Обчисли: $\left(2{,}6-1\frac{3}{5}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2+0{,}5$.
- Обчисли двома способами: $2{,}75+1\frac{3}{8}$.
- Обчисли: $1\frac{5}{6}-0{,}75$.
- Число $3\frac{3}{5}$: 1) збільш на $1\frac{1}{2}$; 2) зменш у $1\frac{1}{5}$ раза.
- Розв’яжи рівняння $2\frac{1}{2}(x+0{,}4)-1\frac{1}{3}=2\frac{5}{6}$.
- Розв’яжи рівняння $4\frac{3}{4}y-2{,}5y=3\frac{3}{8}$.
- Першого дня туристи пройшли $\frac{1}{3}$ маршруту, другого дня — $\frac{3}{8}$ решти, а третього дня — останні 15 км. Яка довжина маршруту?
- Велосипедист за 25 хв проїхав 6 км. Знайди його швидкість у км/год.
- Автомобіль 3 год їхав зі швидкістю 60 км/год, а потім ще 2 год — зі швидкістю $72\frac{1}{2}$ км/год. Знайди середню швидкість автомобіля.
- Один майстер може пофарбувати паркан за 3 год, другий — за 4 год, а третій — за 6 год. За скільки годин вони пофарбують паркан, якщо працюватимуть разом?
- Обчисли: $\dfrac{1\frac{1}{2}+0{,}25}{2\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}}$.
- Ширина прямокутника дорівнює 2,4 м, що становить $\frac{3}{5}$ його довжини. Знайди площу прямокутника.
- Сторони прямокутника дорівнюють 1,4 м і $\frac{4}{5}$ м. Знайди сторону квадрата з таким самим периметром і площу цього квадрата.
- У двох бочках разом було 90 л води. З кожної бочки взяли однаково, і в першій залишилося $25\frac{1}{2}$ л, а в другій — $18\frac{3}{4}$ л. Скільки води було спочатку в кожній бочці?
Перевірити відповіді
- $\frac{17}{18}$.
- $4\frac{1}{8}$, або 4,125.
- $1\frac{1}{12}$.
- 1) $5\frac{1}{10}$; 2) 3.
- $1\frac{4}{15}$.
- 1,5.
- 36 км.
- 14,4 км/год.
- 65 км/год.
- За $1\frac{1}{3}$ год, тобто за 1 год 20 хв.
- 2.
- 9,6 м².
- Сторона 1,1 м, площа 1,21 м².
- $48\frac{3}{8}$ л і $41\frac{5}{8}$ л. Різниця залишків $25\frac{1}{2}-18\frac{3}{4}=6\frac{3}{4}$ (л) дорівнює різниці початкових об’ємів. Тому в першій бочці було $\left(90+6\frac{3}{4}\right):2=48\frac{3}{8}$ (л).
Повний розв’язок завдання 5
| $2\frac{1}{2}(x+0{,}4)=2\frac{5}{6}+1\frac{1}{3}=4\frac{1}{6}$ |
| $x+0{,}4=\frac{25}{6}:\frac{5}{2}=\frac{25}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{5}{3}$ |
| $x=\frac{5}{3}-\frac{2}{5}=\frac{25}{15}-\frac{6}{15}=\frac{19}{15}=1\frac{4}{15}$ |
Остання дія в лівій частині — віднімання, тому спершу знаходимо невідоме зменшуване. Потім дужка — невідомий множник, а $x$ — невідомий доданок. Число 0,4 записуємо звичайним дробом $\frac{2}{5}$, бо $\frac{5}{3}$ має знаменник 3.
Повний розв’язок завдання 11
| 1) | $1\frac{1}{2}+0{,}25=1{,}5+0{,}25$ |
| $=1{,}75=\frac{7}{4}$ | |
| 2) | $2\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}=\frac{7}{3}\cdot\frac{3}{8}=\frac{7}{8}$ |
| 3) | $\frac{7}{4}:\frac{7}{8}=\frac{7}{4}\cdot\frac{8}{7}=2$ |
Дробова риска означає ділення, тому спершу окремо обчислюємо чисельник і знаменник. У чисельнику додаємо десяткові дроби, а в знаменнику множимо звичайні, бо $2\frac{1}{3}$ має знаменник 3.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Попросіть дитину обчислити $\frac{1}{2}+0{,}25$ двома способами: у звичайних дробах і в десяткових. Має вийти $\frac{3}{4}$ і 0,75.
Запитайте, чому відповіді однакові. Хороша відповідь звучить так: це те саме число, лише записане по-різному.
Потім дайте вираз $\frac{1}{3}+0{,}5$ і запитайте, який спосіб тут підходить. Якщо дитина пише 0,33, нагадайте, що 1 на 3 ділиться без кінця: виходить 0,333… Тому тут зручніше рахувати у звичайних дробах:
$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$.
Перед кожним довгим виразом просіть дитину спершу назвати порядок дій уголос. Багато помилок у цьому параграфі пов’язано саме з порядком дій.